2.正切的定义：

在Rt△ABC中，锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA，即

tanA＝.

注：(1)tanA的值越大.梯子越陡.

(2)坡度通常表示斜坡的倾斜程度，是坡角的正切.坡度越大，坡面越陡.

1.当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定.

2.观察学校及附近商场的楼梯，哪个更陡.

　　 Ⅶ.活动与探究

　　 (2003年江苏盐城)

如图，Rt△ABC是一防

洪堤背水坡的横截面

图，斜坡AB的长为

12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号)

　　 [过程]要求DB的长，需分别在Rt△ABC和Rt△ACD中求出BC和DC.根据题意，在Rt△ABC中，∠ABC=45°，AB＝12 m，则可根据勾股定理求出BC；在Rt△ADC中，坡比为1：1.5，即tanD=1：1.5，由BC＝AC，可求出CD.　

　　 [结果]根据题意，在Rt△ABC中，∠ABC=45°，所以△ABC为等腰直角三角形.设BC=AC＝xm，则

　　 x²+x²＝12²，

　　 x=6，

　　 所以BC＝AC=6.

　　 在Rt△ADC中，tanD=,

　　 即CD=9.

　 　所以DB＝CD-BC＝9-6=3(m).

板书设计

§1.1.1　 从梯子的倾斜程度谈起(一)

1.习题1.1第1、2题.

2.如图，某人从山

脚下的点A走了200m后

到达山顶的点B，已知点

B到山脚的垂直距离为55

　m，求山的坡度.(结果精确到0.001)

　　 分析：由图可知，∠A是坡角，∠A的正切即tanA为山的坡度.

　　 解：根据题意：

　　 在Rt△ABC中，AB=200 m，BC＝55 m，

AC==192.30(m).

TanA=

所以山的坡度为0.286.

　　 Ⅴ.课时小结

　　 本节课从梯子的倾斜程度谈起，经历了探索直角三角形中的边角关系，得出了在直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，并以此为基础，在“Rt△”中定义了tanA＝.

　　 接着，我们研究了梯子的倾斜程度，工程中的问题坡度与正切的关系，了解了正切在

现实生活中是一个具有实际意义的一个很重要的概念.

　　 Ⅵ.课后作业

1.如图，△ABC

是等腰直角三角形，

你能根据图中所给

数据求出tanC吗?

　　 分析：要求tanC.需从图中找到∠C所在的直角三角形，因为BD⊥AC，所以∠C在Rt△BDC中.然后求出∠C的对边与邻边的比，即的值.

　　 解：∵△ABC是等腰直角三角形，BD⊥AC，

　　 ∴CD＝AC＝×3＝1.5.

　　 在Rt△BDC中，tanC＝ =＝1.

2.我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，因此，在图1-3

中，梯子越陡，tanA的值越大；反过来，tanA的值越大，梯子越陡.

[师]正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等.正切经常用来描述山

坡的坡度、堤坝的坡度.

　　 如图，有一山坡在

水平方向上每前进100

m，就升高60 m，那么山

坡的坡度(即坡角α的正

切--tanα就是

tanα=α.

　　 这里要注意区分坡度和坡角.坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度.坡度越大，坡面就越陡.

　　 Ⅲ.例题讲解

　　 多媒体演示

[例1]如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?

　　 分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tanα、tanβ的值，比较大小，越大，扶梯就越陡.

　　 解：甲梯中，

　 tanα= .

　　 乙梯中，

　　 tanβ=.

因为tanβ＞tanα，所以乙梯更陡.

[例2]在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.

　　 分析：要求tanA，tanB的值，根据勾股定理先求出直角边AC的长度.

　　 解：在△ABC中，∠C＝90°，

所以AC=

=16(cm),

tanA=

tanB=

所以tanA=，tanB=.

　　 Ⅳ，随堂练习

2.前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图1-3，梯子的倾斜程度与tanA有关系吗?

　　 [生]1.∠B的正切记作tanB，表示∠B的对边与邻边的比值，即

　　 tanB=.

4.初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切.

　　 思考：1.∠B的正切如何表示?它的数学意义是什么?

3.tanA不表示“tan”乘以“A”.