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3、、已知:如图,AD是△ABC的角平分线,DE∥AC交AB于点E,

DF∥AB交AC于点F,请判断四边形AEDF的形状,并说明理由。   

 

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2、(1)如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,DE和CE相交于E,求证:四边形OCED是菱形。

 

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1、判断

(1)对角线互相垂直的四边形是菱形。(    )

(2)对角线互相平分的四边形是菱形。(    )

(3)两组对边分别平行,且对角线        的四边形是菱形。

(4)两组对边分别相等,且对角线互相垂直的四边形是菱形。(    )

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2.如图,点E、F是菱形ABCD的边BC、CD上的点,请你添加一个条件(不得另外添加辅助线和字母),使AE=AF,你添加的条件是________.

      

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2、已知:如图,在△ABC中,AD是角平分线,E是AB上一点,且AE=AC,EG∥BC,EG交AD于点G。

  求证:四边形EDCG是菱形。

例2、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,DE垂直平分BC,垂足为D,交AB于点E,又点F在DE的延长线上,且AF=CE.求证:四边形ACEF为菱形.

[分析]欲证四边形ACEF为菱形,可先证四边形ACEF为平行四边形,然后再证ACEF为菱形,当然,也可证四条边相等,直接证四边形为菱形.

   练习:1、(2006年河南省)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=3.D是BC边上一点,直线DE⊥BC于D,交AB于E,CF∥AB交直线DF于F.设CD=x.

   (1)当x取何值时,四边形EACF是菱形?请说明理由;

   (2)当x取何值时,四边形EACD的面积等于2?

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探索“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的证明思路。

问题一   如图,在ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,

且AC⊥BD,由此你可证得什么?(可得到两对全等的等腰三角形和

四个全等的直角三角形,还可得到AC、BD互相垂直平分)

问题二   如图,要证平行四边形ABCD是菱形,需证什么?为什么?

(要证平行四边形是菱形,根据菱形的定义,只需证一组邻边相等即可)

问题三   说说证明“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的思路。

(思路一:证相邻的两个直角三角形全等得出一组邻边相等即可;思路二:由垂直平分线的性质可得一组邻边相等。)

可选择思路二证明。

思考与探索   你能用直尺和圆规作一个菱形?并说明作图的理由。

作法一:可利用“四边相等的四边形是菱形”来作,先作一个角,再在角的两边上截取相等的边作为菱形的边长,再分别以两个截点为圆心,菱形的边长为半径画弧,两弧相交于一点,这点即为菱形的第四个顶点;  

作法二:可利用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”来作,可先作出两条互相垂直平分的线段,再将两条线段的四个端点顺次连结起来,即作出了一个菱形。

例1、 已知:如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AD是角平分线,点E、F分别在AC、AD上,且AE=AB,EF∥BC。

求证:四边形CDEF是菱形。

分析:由已知AD为角平分线,AE=AB联想到“三线合一”,

因此连结BE,可得到四边形BDEF的对角线互相垂直,只需证

四边形BDEF是平行四边形即可,而已知EF与BD平行,只需证

EF=BD,这可由全等三角形解决。

练习:

1、已知:如图,在ABCD中,对角线BD平分∠ABC。

  求证:四边形ABCD是菱形。

 

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具备什么条件的平行四边形是菱形?具备什么条件的四边形是菱形?同学之间进行交流。

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3、平行线之间的距离处处相等。

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2、是中心对称图形,两条对角线的交点是对称中心。

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引导学生自我归纳总结

1、平行四边形对边相等,对角相等,邻角互补,对角线互相平分。

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同步练习册答案