(二)导入知识,解释疑难
1.教材内容讲解
欲确定某数的平方根时,由以上过程发现,即使有两个值,这两个值也是一对互为相反数,因此实际上我们若求出其中一个值,另一个值也就可以根据求出的数再写出它的相反数,我们就可先确定一个正数,把这个正数称为所给数的算术平方根.
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根,a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0.
例1 求下列各数的算术平方根:
(1)900 (2)1 (3) (4)196 (5)0 (6)10-6
解:(1)∵302=900,故900的算术平方根是30,即=30.
(2)∵12=1,故1的算术平方根是1,即=1.
(3)∵()2=
,故
的算术平方根是
,即
=
(4)∵142=196,故196的算术平方根是14,即=14.
(5)∵02=0,故0的算术平方根是0,即=0.
(6)∵(10-3)2=10-6,故10的算术平方根是10-3,即 =10-3
例2:勤俭节约是中国人的一种美德,涛涛的爷爷是个能工巧匠,他把两张破损了一部分的桌面重新拼接成一张完整的正方形桌面,其面积为169dm2.已知他用的两张小桌面也是锯成了正方形的桌面,其中一张是边长为5dm的小板子,试问另一张较大的桌面的边长应为多少dm才能拼出面积为169dm2的桌面?
分析:边长为5dm的正方形板子,其面积为25dm2,要拼出面积为169dm2的桌面,还需面积为169-25=144dm2的正方形桌面,故问题实际上转化为求144的算术平方根,即=12.
解:设另一张较大的桌面的边长为xdm,则有
x2+52=159,x2=169-25=144,而122=144
故144的算术平方根为12,即=12,即另一张桌面的边长应为12dm.
练习:
1.求下列各式的值:
①; ②
; ③
; ④
.
解:①=1.2
②
=
=0.1
③=0.9-0.2=0.7
④
=
=
(2)若(a-1)2+│b-9│=0,则的算术平方根是下列哪一个( )
A.
B.±3 C.3
D.-3
分析:由于(a-1)2≥0.│b-9│≥0,
∴(a-1)2+│b-9│=0时,有a-1=0且b-9=0,
∴a=1,b=9,
∴=
=9,故
的算术平方根是3.
3. 有意义吗?为什么?
分析: 无意义,因为任何数的平方都是非负数,即a2≥0,故
无意义.
2.探究活动
(1)当a为负数时,a2有没有算术平方根?其算术平方根与a有什么关系?当a为正数时,a2的算术平方根如何表示?a为0呢?举例说明你的结论.
(2)x2-x+是否有算术平方根?如有请写出其算术平方根,如没有说明为什么?
解:当a为负数时,a2为正数,故a2有算术平方根,如a=-5时,a2=(-5)2=25, =
=5,5是-5的相反数,故a2<0时,a的算术平方根与a互为相反数,表示为-a.
当a2为正数时,a的算术平方根表示为,其值为a,即
=a.
当a=0时, =0
由此可知=|a|=
(2)因为(x-)2=x2-x+
,而(x-
)2一定是非负数,故x-x+也是非负数,故x2-x+
有算术平方根,其算术平方根的值要视x的取值而定.当x≥
时,x2-x+
的算术平方根为x-
.当x<
时,x2-x+
的算术平方根为-(x-
)=
-x.
(一)提出问题,引发讨论
1.你能求出下列各数的平方吗?
0,-1,5,2.3,-,-3,3,1,
能.02=0 (-1)2=1 52=25 2.32=5.29 (-)2=
(-3)2=9 32=9 12=1 (
)2=
2.若已知一个数的平方为下列各数,你能把这个数的取值说出来吗?
25,0,4,,
,-
,1.69
能.由于52=25,(-5)2=25,故平方为25的数为5或-5.
02=0,故平方为0的数为0.
22=4,(-2)2=4,故平方为4的数为2或-2.
(-)2=
,(
)2=
,故平方为
的数为±
.
(-)2=
,(
)2=
,故平方为
的数为±
.
对于-这个数,没有哪个数的平方等于它,故平方为-
的数找不到.
1.32=1.69,(-1.3)2=1.69,故平方为1.69的数是±1.3.
又如:课本P160中的问题:小欧要裁一块面积为25dm2的正方形画布,由于正方形的面积为边长的平方,而边长不可能为负数,故此画布的边长应为5dm.依此可得正方形的面积若分别为1,9,16,36,时,此正方形的边长分别为1,3,4,6,
.
由以上讨论发现,有时候我们已知一个数要求这个数的平方值时,只有一个,也有些时候,我们已知某数的平方,要求出这个数,发现此时通常可找到两个数,且这两个数是互为相反数,而如果是已知某物的面积求其边长时,其边长也只有一个值.我们把已知平方值,求原数的问题称为求这个数的平方根.
玲玲家最近喜事不断,家里新购了一套房子,全家欢欢喜喜地搬进新居,爸爸妈妈又增加了工资。条件改善了,为了给玲玲一个好的学习环境,爸爸打算给玲玲买一张桌子供她在家做作业。爸爸问玲玲:“你喜欢长方形桌子还是正方形桌子?”玲玲认为正方形桌子更大,可以多堆点书,又可以有足够的位置写字,所以她更喜欢正方形桌子。于是爸爸根据她的喜爱为她购置了一张正方形桌子,玲玲量了量课桌的边长为100cm,你能算出这张桌子的周长和面积吗?当然可以了,可是如果玲玲更直接地告诉爸爸“我想要一张面积约为125dm的正方形桌子”。请问她爸爸能为她购置到满意的桌子吗?当然可以,计算正方形的面积必须要知道正方形的边长,根据边长求面积是乘方运算,而根据面积求边长又是什么运算呢?这节课我们就来探讨这个问题。
2.了解无理数的发现过程,鼓励学生大胆质疑,培养学生学习数学的热情。
教材解读
本节内容首先给出一个简单的问题,根据正方形的面积求出其边长,由此引出求某数的平方根的问题,在涉及到不能直接用已有的知识开方时,则引进计算器的使用方法,通过计算器对任意正数进行开方。这样将有理数与无理数沟通起来成为实数。
学情分析
上学期已经学习了有理数,对任何数的形式主义都能够顺利得到,同时也感知了“互为相反数的平方相等”,故由平方值去探索平方根的问题实际上只是互逆过程,只要求出一个数的平方就可得知平方根的值。
1.引导学生充分进行交流,讨论与探索等教学活动,培养他们的合作与钻研精神。
采用类比平方值的求法,定义出平方根的概念,同时从这个过程可知一个什么样的数才具有平方根,这种数有几个平方根?并比较这两个平方根之间有什么关系?
2.对于任意有理数都能区分其“+”、“-”性,运用计算器已势在必行。
1.通过对平方值的计算等确立平方根的意义、开方的运算。了解算术平方根与平方根的区别与联系。毛
14.某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内,计划插播长度为15秒和30秒的两种广告,15秒广告每播1次收费0.6万元,30秒广告每播1次收费1万元,若要求每种广告播放不少于2次,问:
(1)两种广告的播放次数有几种安排方式?
13. 某人只带了元和
元两种货币,他要买一件
元的商品,而商店不给找钱,问此人的付款方式一共有多少种?
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com