15.2乘法公式之完全平方公式

教学目标：

完全平方公式的推导及其应用．完全平方公式的几何解释．视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．

教学重点：

完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用

教学过程设计：

设计意图

第一课时 (一)提出问题，学生自学 1．问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么(a+b)2 应该写成什么样的形式呢？(a+b)2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？ 　　 (1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=_______；　 (m+2)2=_______； (2)(p-1)2=(p-1)(p-1)=________；　　 (m-2)2=_______； 2．学生探究[1] 3．得到结果：(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+2p+1 　　 　　　　　　(m+2)2=(m+2)(m+2)= m2+4m+4 　 　　　　　(2)(p-1)2=(p-1)(p-1)= p2-2p+1 　　 　　　　　　(m-2)2=(m-2)(m-2=m2-4m+4 4．分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数乘积的二倍。(1)(2)之间只差一个符号。 　　　 推广：计算(a+b)2=_____　　　 ___　 (a-b)2=_____　　　 ___　 [2] (二)得到公式，分析公式 1．结论：　　 (a+b)2=a2+2ab+b2 　　　(a-b)2=a2-2ab+b2　　 即： 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍． 2.几何分析：[3] 　　　　　 图(1)，可以看出大正方形的边长是a+b，它是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．[4] (三)运用公式

设计意图	1．　 直接运用[1] 例：应用完全平方公式计算： (1)(4m+n)2　　 (2)(y-)2 　　　 　(3)(-a-b)2　 　　(4)(b-a)2 练习：P155 练习1，2 2．　 简便计算[2] 例：运用完全平方公式计算： 　　 (1)1022　　 (2)992 练习：计算： 50.012 　　49.92 　 　 附加练习： 计算： 　　　 　　 　　　　 )2=　　　　 　　 　　　　　　 　　 在下列多项式中，哪些是由完全平方公式得来的？ 　 　　　　　　　　 (四)小结： 完全平方公式的结构特征． 　　 公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．
作业	课本P156复习巩固2

设计意图

第二课时：(添括号法则在公式里的运用) (一)　 回顾完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 　　　(a-b)2=a2-2ab+b2 (二)　 提出问题，解决问题 1．　 在运用公式的时候，有些时候我们需要把一个多项式看作一个整体，把另外一个多项式看作另外一个整体。例如：和，这就需要在式子里添加括号。那么如何加括号呢？它有什么法则呢？它与去括号有何关系呢？[1] 2．　 解决问题： 在去括号时：　　 　 反过来，就得到了添括号法则： 　　 3．　 理解法则：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 　　 　　　　也是：遇“加”不变，遇“减”都变． 4．　 运用法则： [2] (1)a+b-c=a+(　 　　)　　 (2)a-b+c=a-(　 　　) 　　 (3)a-b-c=a-( 　　　)　　 (4)a+b+c=a-(　 　　) 　　 2．判断下列运算是否正确． 　　 (1)2a-b-=2a-(b-)　　 (2)m-3n+2a-b=m+(3n+2a-b) 　　 (3)2x-3y+2=-(2x+3y-2)　　 (4)a-2b-4c+5=(a-2b)-(4c+5) 5．　 总结： 添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确． (三)　 在公式里运用法则[3] 例：计算：(1)(x+2y-3)(x-2y+3) 　　 　　　(2)(a+b+c)2 　　 　　　(3)(x+3)2-x2 　　 　　　(4)(x+5)2-(x-2)(x-3) 练习：P156练习1，2 　　　 计算：　　　 　、 (四)　 两公式的综合运用 例：如果是一个完全平方公式，则的值是多少？[4] 练习：如果是一个完全平方公式，则的值是多少？ 例：如果，那么的结果是多少？[5] 练习：已知 ，求和 的值

设计意图	已知，求和的值 已知 ，求和 的值 　 附加：证明能被4整除 (五)小结：利用添括号法则可以将整式变形，从而灵活利用乘法公式进行计算，灵活运用公式进行运算
作业	课本P156综合运用3、4

15.2乘法法公式之平方差公式

教学目标：

经历探索平方差公式的过程．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算，培养学生观察、归纳、概括的能力．

教学重点：平方差公式的推导和应用．理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．

教学过程设计：

设计意图

(一) 学生动手，得到公式 1. 计算下列多项式的积． (1)(x+1)(x-1)　　　　　　 (2)(m+2)(m-2) (3)(2x+1)(2x-1)　　　　　 (4)(x+5y)(x-5y) 2．提出问题： 观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？ 3．特点： 等号的一边：两个数的和与差的积，等号的另一边：是这两个数的平方差 4.再试一试： 　　 [学生自己出相似的题目加以验证] 5.得到结论 　　　　　　 (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2． 即　 (a+b)(a-b)=a2-b2　 [1] (二) 熟悉公式 1．下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？ 　　　　　　 　　 　　　　　 　 　 　　　　　　 1．　 认清公式：在等号左边的两个括号内分别没有符号变化的集团是a，变号的是b (三) 运用公式 1．　 直接运用　 例：(1)(3x+2)(3x-2)(2)(b+2a)(2a-b)(3)(-x+2y)(-x-2y) 2．　 简便计算 　　 例：(1)102×98[3]　　 (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) 3．　 练习： P153 练习1，2 　　　 　　　　　　　　　　　 　　　 　　　　　 　　　 100.5×99.5　　 99×101×10001

[1]其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式．

设计意图	(四)公式的几何关系 附加题： 1．　 证明：两个连续奇数的积加上1一定是一个偶数的平方 2．　 求证：一定是24的倍数 (四) 小结： 1、　 记住平方差公式 2、　 平方差公式的直接利用及简便应用
[1]体现数形结合的思想
作业	课本P156复习巩固1
板书设计	§15．2．1　 平方差公式 一.探究、归纳规律──平方差公式 文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 　　 符号语言：(a+b)(a-b)=a2-b2 二.1．用简便方法计算 　 　2．计算： 三.应用、升华：

22.观察下面各式：

1²+(1×2)²+2²=(1×2+1)²

2²+(2×2)²+3²=(2×3+1)²

3²+(3×4)²+4²=(3×4+1)²

……

(1)写出第2005个式子；

(2)写出第n个式子，并说明你的结论.

21.若f(x)=2x-1(如f(-2)=2×(-2)-1，f(3)=2×3-1)，求的值.

20.化简(x+y)+(2x+)+(3x+)+…+(9x+)，并求当x=2，y=9时的值.

19.已知(a+b)²=60，(a-b)²=80，求a²+b²及ab的值.

18.(2003·郑州)如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，求a+b的值.

17.已知a=1990x+1989，b=1990x+1990，c=1990x+1991，求a²+b²+c²-ab-ac-bc的值.

16.解不等式(1-3x)²+(2x-1)²＞13(x-1)(x+1).

15.已知(t+58)²=654481，求(t+84)(t+68)的值.