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    18.1　勾股定理(3)

    　知识领航

    试题详情

    1．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=，AB=　　　 。
    2．在Rt△ABC中，∠C=90°，S△ABC=30，c=13，且a＜b，则a=　　　 ，b=　　　 。
    3．已知：如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°AC=，
    求(1)AB的长；(2)S△ABC。
    4．在数轴上画出表示－的点。

    试题详情

    教师活动
    		 学生活动
    一、课堂引入
    复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。
    二、例习题分析
    例1(补充)1．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=，求线段AB的长。
    　
    		 　
    学生能够自己画图，并正确标图。学生分析：欲求AB，可由AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1。或欲求AB，可由，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6。
    教师活动
    		 学生活动
    分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。
    　
    例2(补充)已知：如图，△ABC中，AC=4，∠B=45°，∠A=60°，根据题设可知什么？

    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°。
    小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。并指出如何作辅助线？
    　
    例3(补充)已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
    分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。教学中要逐层展示给学生。
    解：延长AD、BC交于E。
    ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。
    ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
    ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。　　　　　　　
    ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。
    ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=
    　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
    		　
    　
    　
    　
    　
    　
    学生充分思考和讨论后，发现添置AB边上的高这条辅助线，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC及S△ABC。
    学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？为什么？
    　
    　
    　
    　
    学生深入体会
    　

    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    教师活动
    		 学生活动
    小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。
    　
    例4(教材P76页探究3)
    分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。
    变式训练：在数轴上画出表示的点
    　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　
    		 　
    课
    堂
    总
    结
    		 1.“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。
    2.解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。清楚作辅助线不能破坏已知角。
    　

    试题详情

    P79/10、11、12
    　

    试题详情

    教师活动
    		 学生活动
    一、课堂引入
    勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试。
    二、例习题分析
    例1(教材P74页探究1)
    分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。
    　
    　
    　
    　
    		 　
    　
    　
    　
    　
    　
    ⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    教师活动
    		 学生活动
    例2(教材P75页探究2)
    分析：⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。　　　　　　　　　　　　
    ⑵ 在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC。

    　
    　
    　
    　
    　
    　
    三、课堂练习
    1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是　　　　 米。
    2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4米，则这两株树之间的垂直距离是　　　 　米，水平距离是　　　　 米。

    　
    　
    　
    　
    　
    2题图　　　　　　　　　　　
    3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是　　　　　　　 。
    4．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？
    　
    　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
    		 　
    　
    　
    　
    　
    ⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD。
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    教师活动
    		 学生活动
    1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，
    ∠B=60°，则江面的宽度为　　　　　　 。
    　
    2．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ=　　　　 厘米。
    　
    3．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。
    (精确到1米)
    　
    　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

    课
    堂
    总
    结
    		 1．明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。
    2.进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形三边的关系：保证一边不变，其它两边的变化。

    试题详情

    1．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，　　　
    AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。
    　
    2.78~79/7、8、9
    　

    试题详情

    教师活动
    		 学生活动
    一、课堂引入
    复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。
    二、、例习题分析
    例1(补充)在Rt△ABC，∠C=90°
    ⑴已知a=b=5,求c。
    ⑵已知a=1,c=2, 求b。
    ⑶已知c=17,b=8, 求a。
    ⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。
    ⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。
    分析：⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生
    		 　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。
    　
    　
    教师活动
    		 学生活动
    明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。
    　
    例2(补充)已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
    分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
    　
    　
    例3(补充)已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。
    ⑴求等边△ABC的高。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
    ⑵求S△ABC。
    　
    　
    　
    　
    　

    分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做
    法。欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中，
    但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=AB=3cm，则此题可解。
    　
    三、课堂练习
    1．填空题
    ⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=　　　 。
    ⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=　　　 。
    ⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a=　　　 ，b=　　　 。
    ⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为　　　　　　 。
    ⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为　　　　　　 。
    　
    　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
    		　
    　
    　
    小组讨论，合作求解
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    　
    教师活动
    		 学生活动
    ⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为　　　　 ，面积为　　　　　 。
    2．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。　　　　　　　　　　　　　
    　
    3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。
    　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
    		　
    课
    堂
    总
    结
    		 1.明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边，学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。
    2.注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
    3.勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。

    试题详情

    课　 题
    		 18.1勾股定理(二)
    		 课型
    		 新授课
    教
    学
    目
    标
    		 知识与技能
    		 1．会用勾股定理进行简单的计算。
    2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。
    过程与方法
    		 通过学生画好图形，标好图形，理清边边之间的关系，明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边，学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。
    情感目标
    		 注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
    教学重点与难点
    		 1．重点：勾股定理的简单计算。
    2．难点：勾股定理的灵活运用。
    教学资源
    		 小黑板
    预习作业
    		 内容
    		 完成自主练习与检测页的基础平台
    时间
    		 15分钟
    		 方法
    		 自学。
    要求
    		 会应用勾股定理解决预习作业

    试题详情


    同步练习册答案