例1. 已知：在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。求证：a²+b²＝c²。

证明方法一：取四个与Rt△ABC全等的直角三角形，把它们拼成如图所示的正方形。

如图，正方形ABCD的面积 ＝ 4个直角三角形的面积 + 正方形PQRS的面积

∴ ( a + b )² ＝ 1/2 ab × 4 + c²

a² + 2ab + b² ＝ 2ab + c²

故 a² + b² ＝c²

证明方法二：

图1中，甲的面积 ＝ (大正方形面积) － ( 4个直角三角形面积)。

图2中，乙和丙的面积和＝(大正方形面积)－( 4个直角三角形面积)。

因为图1和图2的面积相等，

所以甲的面积＝乙的面积+丙的面积

即：c² ＝ a² + b²

证明方法三：

四个直角三角形的面积和 +小正方形的面积 ＝大正方形的面积，

2ab + ( a －b ) ² ＝ c²，

2ab + a² － 2ab + b² ＝ c²

故 a² + b²＝c²

证明方法四：

梯形面积 ＝ 三个直角三角形的面积和

1/2 × ( a + b ) × ( a + b ) ＝ 2 × 1/2 × a × b + 1/2 × c × c

(a + b )² ＝ 2ab + c²

a ² + 2ab + b² ＝ 2ab + c²

故 a² + b²＝c²

点拨：以上四种方法均是使用了面积的方法，勾股定理的证明方法很多，有四百多种，在后面学习了相似三角形之后，我们还可以用相似三角形的方法来证明。

例2. 在Rt△ABC，∠C＝90°

⑴已知a＝b＝5，求c。

⑵已知a＝1，c＝2， 求b。

⑶已知c＝17，b＝8， 求a。

⑷已知a：b＝1：2，c＝5， 求a。

⑸已知b＝15，∠A＝30°，求a，c。

分析：⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的变形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。

解：由a² + b²＝c²得，

(1)c²＝ 5² + 5²＝50，　 即：c＝；

　　 (2)1² + b²＝2²，b²＝3，即：b＝；

(3)a² + 8²＝17² ，a²＝225，即：a＝15；

(4)由a：b＝1：2得，b＝2a，

则：a² + (2a)²＝5²

即：a＝；

(5)由∠A＝30°得，c＝2a，

则：a² +15²＝(2a)² ，

解得：a＝，c＝2。

注：本题中的、在学习二次根式之后还可以进一步化简，此处不作要求。

例3. 已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。⑴求等边△ABC的边AB上的高CD。⑵求S_△ABC。

分析：等边三角形的每边上的高、中线和该边所对的角的角平分线，三线合一。

解：(1)∵△ABC 是等边三角形

CD⊥AB

∴CD平分AB

∵△ABC的边长是6cm

∴AD＝BD＝AB＝3 cm

在直角三角形ACD中，

AD²+CD²＝AC²

3²+CD²＝6²

CD＝

(2)S_△ABC＝AB·CD＝×6×＝3(cm²)

例4. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？

分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形。如图，图中△ABC的∠C＝90°，AC＝4000米，AB＝5000，米欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于△ABC的斜边AB＝5000米，AC＝4000米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算。

解：由勾股定理得

即 BC＝3千米

飞机 20秒飞行3 千米．那么它 l 小时飞行的距离为：

(千米／时)

答：飞机每小时飞行 540千米。

　 例5. 如图在中，，，的平分线AD交BC于D，求证：。

证明：，

平分

在中

点评：本题是一道勾股定理的运用题，在本题中我们也用到了角平分线的知识。

　 例6. 如图，在中，于D，求CD的长。

解：是直角三角形

，由勾股定理有

又

答：CD的长是24cm。

点评：(1)勾股定理的应用前提是在直角三角形中；(2)本题求CD也可以分别在和中用勾股定理列方程组来求解，显然解方程需要以后的知识而且比用面积法繁杂些。

　 例7. 在一棵树的10m高的B处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？

分析：如图所示，其中一只猴子从共30m，另一只猴子从也共走了30m。并且树垂直于地面，于是此问题可化归到直角三角形解决。

解：如图，设，由题意知

中，，解之得

答：这棵树高15m。

点评：本题的关键是依题意正确地画出图形，在此基础上，再运用勾股定理及方程的思想使问题得以解决。

[模拟试题](答题时间：45分钟)

4. 勾股定理的各种表达式

　　 在中，，A、B、C的对边分别为a、b、c，则，，，，，。

3. 勾股定理的作用：

1)已知直角三角形的两边长，求第三边长；

2)知道一边长时，能够确定直角三角形的其余两个边长之间的关系；

3)在证明含平方问题时，有时就可以考虑构造直角三角形帮助解决问题。

2. 相关知识链接：

直角三角形

1)我国古代把直角三角形中较短的直角边叫作勾，较长的直角边叫作股，斜边叫作弦；

2)汉代数学家赵爽把勾股定理叙述成：勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦；

3)国外称之为毕达哥拉斯定理；

4)也有人称勾股定理为千古第一定理。

1. 定理内容：

文字形式：直角三角形的两直角边的平方和，等于斜边的平方。

几何形式：如果直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，那么

　　　　　　a²+b²＝c²

2. 难点：勾股定理的证明和运用；

1. 重点：勾股定理的内容

4. 能够运用勾股定理解决相关问题。

3. 会用面积法来证明勾股定理；

2. 理解勾股定理的含义；