4.填空:
(1)点P(5,-3)关于x轴对称点的坐标是 ;
(2)点P(3,-5)关于y轴对称点的坐标是 ;
(3)点P(-2,-4)关于原点对称点的坐标是 .
3.指出下列各点所在的象限或坐标轴:
A(-3,-5),B(6,-7),C(0,-6),D(-3,5),E(4,0).
2.在直角坐标系中描出下列各点,顺次用线段将这些点连起来,并将最后一点与第一点连起来,看看得到的是一个什么图形?
1.判断下列说法是否正确:
(1)(2,3)和(3,2)表示同一点;
(2)点(-4,1)与点(4,-1)关于原点对称;
(3)坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0;
(4)第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数.
4.分别关于x轴、y轴及原点的对称的两点坐标之间的关系.
3.在四个象限内的点的坐标特征;两条坐标轴上的点的坐标特征;第一、三象限角平分线上点的坐标特征;第二、四象限角平分线上点的坐标特征;
2.在直角坐标系中,根据坐标找出点;由点求出坐标的方法;
1.平面直角坐标系的有关概念及画法;
例1 在上图中分别描出坐标是(2,3)、(-2,3)、(3,-2)的点Q、S、R,Q(2,3)与P(3,2)是同一点吗?S(-2,3)与R(3,-2)是同一点吗?解
Q(2,3)与P(3,2)不是同一点;
S(-2,3)与R(3,-2)不是同一点.
例2 写出图中的点A、B、C、D、E、F的坐标.观察你所写出的这些点的坐标,回答:(1)在四个象限内的点的坐标各有什么特征?
(2)两条坐标轴上的点的坐标各有什么特征?
解 A(-1,2)、B (2,1)、C (2,-1)、D (-1,-1)、E (0,3)、F (-2,0).
(1)在第一象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是正数;
在第二象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是正数;
在第三象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是负数;
在第四象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是负数;
(2)x轴上点的纵坐标等于零;
y轴上点的横坐标等于零.
说明 从上面的例1、例2可以发现直角坐标系上每一个点的位置都能用一对有序实数表示,反之,任何一对有序实数在直角坐标系上都有唯一的一个点和它对应.也就是说直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的.
例3 在直角坐标系中描出点A(2,-3),分别找出它关于x轴、y轴及原点的对称点,并写出这些点的坐标.观察上述写出的各点的坐标,回答:
(1)关于x轴对称的两点的坐标之间有什么关系?
(2)关于 y轴对称的两点的坐标之间有什么关系?
(3)关于原点对称的两点的坐标之间又有什么关系?
解
(1)关于x轴对称的两点:横坐标相同,纵坐标绝对值相等,符号相反;
(2)关于y轴对称的两点:横坐标绝对值相等,符号相反,纵坐标相同;
(3)关于原点对称的两点:横坐标绝对值相等,符号相反,纵坐标也绝对值相等,符号相反.
例4 在直角坐标平面内,(1)第一、三象限角平分线上点的坐标有什么特点?(2)第二、四象限角平分线上点的坐标有什么特点?
分析 如图,P为第一、三象限角平分线上位于第一象限内任一点,作PM⊥x轴于M,在Rt△PMO中,∠1=∠2=45°,所以|OM|=|MP|,则P点的横坐标,纵坐标绝对值相等,又因为P点位于第一象限内,OM为正值,MP也为正值,所以P点横坐标与纵坐标相同.同样若P点位于第三象限内,则OM为负值,MP也为负值,所以P点横坐标与纵坐标也相同.若P点为第二、四象限角平分线上任一点,则OM与MP一正一负,所以P点横坐标与纵坐标互为相反数.
解 (1)第一、三象限角平分线上点:横坐标与纵坐标相同;
问题1 例如你去过电影院吗?还记得在电影院是怎么找座位的吗?
解 因为电影票上都标有“×排×座”的字样,所以找座位时,先找到第几排,再找到这一排的第几座就可以了.也就是说,电影院里的座位完全可以由两个数确定下来.
问题2 在教室里,怎样确定一个同学的座位?
解 例如,××同学在第3行第4排.这样教室里座位也可以用一对实数表示.
问题3 要在一块矩形ABCD(AB=40mm,AD=25mm)的铁板上钻一个直径为10mm的圆孔,要求:
(1)孔的圆周上的点与AB边的最短距离为5mm,
(2)孔的圆周上的点与AD边的最短距离为15mm.
试问:钻孔时,钻头的中心放在铁板的什么位置?
分析 圆O的中心应是钻头中心的位置.因为⊙O直径为10mm,所以半径为5 mm,所以圆心O到AD边距离为20mm,圆心O到AB边距离为10mm.由此可见,确定一个点(圆心O)的位置要有两个数(20和10).
在数学中,我们可以用一对有序实数来确定平面上点的位置.为此,在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴(如图),这就建立了平面直角坐标系(rightangled coordinates system).通常把其中水平的一条数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两数轴的交点O叫做坐标原点.
在平面直角坐标系中,任意一点都可以用一对有序实数来表示.例如,图中的点P,从点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足分别为M和N.这时,点M在x轴上对应的数为3,称为点P的横坐标(abscissa);点N在y轴上对应的数为2,称为点P的纵坐标(ordinate).依次写出点P的横坐标和纵坐标,得到一对有序实数(3,2),称为点P的坐标(coordinates).这时点P可记作P(3,2). 在直角坐标系中,两条坐标轴把平面分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域,分别称为第一、二、三、四象限.坐标轴上的点不属于任何一个象限.
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