18．2　 勾股定理的逆定理(三)

教 学 过 程

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第一步：课堂引入 勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目.
第二步：应用举例： 例1已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ABC的形状. 分析：利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状.⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为0，则都为0；⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形. 例2已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3. 求：四边形ABCD的面积. 分析：使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题.本题辅助线作平行线间距离无法求解.创造3、4、5勾股数，利用勾股定理的逆定理证明DE就是平行线间距离. ⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB(ASA)； ⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC中，3、4、5勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积. 例3已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD. 求证：△ABC是直角三角形. 分析：勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形. ∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2 ∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2 =AD2+2AD·BD+BD2 =(AD+BD)2=AB2
第三步：课堂练习 1．若△ABC的三边a、b、c，满足(a－b)(a2+b2－c2)=0，则△ABC是(　　 ) A．等腰三角形； B．直角三角形； C．等腰三角形或直角三角形； D．等腰直角三角形. 2．若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：，试判断△ABC的形状. 3．已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且AB⊥BC. 求：四边形ABCD的面积. 4．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，且CD2=AD·BD. 求证：△ABC中是直角三角形. 参考答案： 1．C；　　　 2．△ABC是等腰直角三角形；　　　　 3． 4．提示：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2= AD2+2AD·BD+BD2=(AD+BD)2=AB2，∴∠ACB=90°.
第四步：课后练习： 1．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的面积. 2．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm. 求证：△ABC是等腰三角形. 3．已知：如图，∠DAC=∠EAC，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2. 求证：AB2=AE2+CE2. 4．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，试判定△ABC的形状. 参考答案： 1．6；　　　　 2．提示：因为AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD，根据线段垂直平分线的判定可知AB=BC.　　　 3．提示：有AC2=AE2+CE2得∠E=90°；由△ADC≌△AEC，得AD=AE，CD=CE，∠ADC=∠BE=90°，根据线段垂直平分线的判定可知AB=AC，则AB2=AE2+CE2. 4．提示：直角三角形，用代数方法证明，因为(a+b)2=16，a2+2ab+b2=16，ab=1，所以a2+b2=14.又因为c2=14，所以a2+b2=c2 .
小结与反思：

18．2　 勾股定理的逆定理(一)

教学过程

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一、创设情境，导入课题 [实验观察] 　　 实验方法：用一根钉上13个等距离结的细绳子，让同学操作，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起．然后用角尺量出最大角的度数．(90°)，可以发现这个三角形是直角三角形． 归纳结论： 勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
二、研究新知、应用举例： 例：以6，8，10为三边的三角形是直角三角形吗？如　 三边为5，6，7的三角形是不是直角三角形？ 例：根据下列条件，分别判断a,b,c为边的三角形是不是直角三角形 (1)a=7,b=24,c=25;　　　　　 (2)　 a=,b=1,c= 例：已知的三边分别a,b,ca=,b=2mn,c=(m>n,m,n是正整数)，是直角三角形吗？说明理由。 分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。 解： 是直角三角形 注意事项： (1)　　　　 书写时千万是直角三角形。这里你弄错了勾股定理的逆定理的条件和结论。 (2)　　　　 分清何时利用勾股定理，何时利用其逆定理 例(见课本P83　 例2) 　　 思路点拨：首先应根据题意画出图形，(见课本P83图18．2-3)．这是一种象限图，依图形可以看出，“远航”号的航向已经知道，只要求出两艘轮船的航向所成的角，就可以知道“海天”号的航向． 例：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=BC，求证：AF⊥EF． 思路点拨：要证AF⊥EF，需证△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定性，只要证出AF2+EF2=AF2就可以了．
三、随堂练习，巩固深化 　 　1．课本P84　 “练习”1，2，3 　　 2．[探研时空] 　　 若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状． 　　 (提示：根据所给条件，只有从关于a，b，c的等式入手，找出a，b，c三边之间的关系，应用分解因式可得(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0，求出a=5，b=12，c=13，∵a2+b2=c2，∴△ABC是Rt△)． 例：如下图中分别以三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则是直角三角形吗？
四、课堂总结，发展潜能 　 　1．勾股定理的逆定性：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．(问：勾股定理是什么呢？) 　　 2．该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 　　 3．应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．
课后反思 ：

6．3、4、5是一组勾股数，那么3k，4k，5k(k是正整数)也是一组勾股数，因为(3k)²+(4k)²＝(5k)²；

　　 同样a，b、c是一组勾股数，则a²+b²＝c²，而(ak)²＝a²k²，(bk)²＝b²k²，(ck)²＝(c²k²，所以a²k²+b²k²＝c²k²，则ak，bk，ck，(k为正整数)也是一组勾股数．

5．解：AD是BC迫上的中线，且BC＝10cm，所以BD＝DC＝BC＝5cm，

　　 AB＝13cm，AD＝12cm

　　 13²＝12²+5²，所以AB²＝AD²+BD²．

　　 △ABD为Rt△且∠ADB＝90°，所以∠ADC＝90°，

　　 AC＝＝13．

4．解：a²＝4m²，b²＝(m²－1)²＝m⁴－2m²+1，c²＝(m²+1)²＝m⁴+2m²+1，

而a²+b²＝m²+m⁴－2m²+1＝m⁴+2m²+1．所以a²+b²＝c²，即a、b、c为勾股数．

　　 当m＝2时，可得一组勾股数：4、3、5；

　　 当m＝3时，可得一组勾股数：6、8、lO；

　　 当m＝4时，可得一组勾股数，8、15、17，

3．解：根据题意，如下图所示AB＝80m，BC＝60m，CA＝100m．因为，80²+60²＝100²，即AB²+BC²＝AC²，所以△ABC为Rt△，即小明向东走了80m后又向北或向南走了60m，最后回到原地(A点)．

1．解：(1)a²＝49，b²＝576，c²＝625

　　 a²+b²＝49+576＝625．c²＝625

　　 所以，a²+b²＝c²，根据勾股定理的逆定理，得由线段a＝7，b＝24，c＝25能组成直角三角形．

　　 (2)a²＝2.25，b²＝4，c²＝6.25，

　　 而a²+b²＝2.25+4＝6.25，

　　 所以，a²+b²＝c²，根据勾股定理的逆定理，得由线段a＝1.5，b＝2，c＝2.5可组成直角三角形．

(3)a²＝，b²＝1，c²＝，b²+c²＝1+．即，a²＝b²+c²，

所以，以a＝，b＝1，c＝　为边可组成直角三角形．

　　 (4)a²＝1600，b²＝2500，c²＝3600．

　　 而a²+b²＝4100≠3600，即a²+b²≠c²，不能构成直角三角形．

2，(1)逆命题：两直线平行，同旁内角互补．此逆命题成立．

　　 (2)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角走直角．此逆命题不成立．

　　 (3)逆命题：如果两个三角形三边对应相等，那么这两个三角形全等．此逆命题成立．

　　 (4)逆命题：已知两个数，如果它们的平方相等，则这两个数也相等．此逆命题不成立．

3．在实际生活中的应用

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活动与探究

　　 如下图，在正方形ABCD中．E是BC的中点，F为CD上一点，且CF＝CD．

求证：△AEF是直角三角形．

过程：要证△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证AE²+EF²＝AF²

即可．

　　 利用代数方法(即勾股定理的逆定理)计算三角形的三边长，看它们是否是勾股数，以判断三角形是否是直角三角形，这是解决几何问题常用的方法之一．

　　 结果：设正方形ABCD的边长是a，则BE＝CE＝a，CF＝　a，DF＝　a，在Rt△ABE中，由勾股定理得

　　 AE²＝AB²+BF²＝a²+(a)²＝a²

同理，在Rt△ADF中，AF²＝AD²+DF²＝a²+(a)²＝a²，

在Rt△CEF中，EF²＝CE2+CF2＝(a)²+(a)²＝a²

　　 所以，AF²＝AE²+EF²．

　　 所以，△AEF是直角三角形．

习题详解

　　 习题18．2

2．勾股数组

1．勾股定理的逆定理一实际问题(判定直角三角形的形状)