2.在画实际问题中的一次函数图象时,要考虑自变量的取值范围,画出的图象往往不再是一条直线.
1.一次函数y=kx+b,当x=0时,y=b;当y=0时,.所以直线y=kx+b与y轴的交点坐标是(0,b),与x轴的交点坐标是;
例1 若直线y=-kx+b与直线y=-x平行,且与y轴交点的纵坐标为-2;求直线的表达式.
分析 直线y=-kx+b与直线y=-x平行,可求出k的值,与y轴交点的纵坐标为-2,可求出b的值.
解 因为直线y=-kx+b与直线y=-x平行,所以k=-1,又因为直线与y轴交点的纵坐标为-2,所以b=-2,因此所求的直线的表达式为y=-x-2.
例2 求函数与x轴、y轴的交点坐标,并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积.
分析 求直线与x轴、y轴的交点坐标,根据x轴、y轴上点的纵坐标和横坐标分别为0,可求出相应的横坐标和纵坐标;结合图象,易知直线与x轴、y轴围成的三角形是直角三角形,两条直角边就是直线与x轴、y轴的交点与原点的距离.
解 当y=0时,x=2,所以直线与x轴的交点坐标是A(2,0);当x=0时,y=-3,所以直线与y轴的交点坐标是B(0,-3).
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例3 画出第一节课中问题(1)中小明距北京的路程s(千米)与在高速公路上行驶的时间t(时)之间函数s=570-95t的图象.
分析 这是一题与实际生活相关的函数应用题,函数关系式s=570-95t中,自变量t是小明在高速公路上行驶的时间,所以0≤t≤6,画出的图象是直线的一部分.再者,本题中t和s取值悬殊很大,故横轴和纵轴所选取的单位长不一致.
讨论 1.上述函数是否是一次函数?这个函数的图象是什么?
2.在实际问题中,一次函数的图象除了直线和本题的图形外,还有没有其他的情形?你能不能找出几个例子加以说明.
例4 旅客乘车按规定可以免费携带一定重量的行李.如果所带行李超过了规定的重量,就要按超重的千克收取超重行李费.已知旅客所付行李费y(元)可以看成他们携带的行李质量x(千克)的一次函数为.画出这个函数的图象,并求旅客最多可以免费携带多少千克的行李?
分析 求旅客最多可以免费携带多少千克的行李数,即行李费为0元时的行李数.为此只需求一次函数与x轴的交点横坐标的值.即当y=0时,x=30.由此可知这个函数的自变量的取值范围是x≥30.
解 函数(x≥30)图象为:
当y=0时,x=30.
所以旅客最多可以免费携带30千克的行李.
例5 今年入夏以来,全国大部分地区发生严重干旱.某市自来水公司为了鼓励市民节约用水,采取分段收费标准,若某户居民每月应交水费y(元)是用水量x(吨)的函数,当0≤x≤5时,y=0.72x,当x>5时,y=0.9x-0.9.
(1)画出函数的图象;
(2)观察图象,利用函数解析式,回答自来水公司采取的收费标准.
分析 画函数图象时,应就自变量0≤x≤5和x>5分别画出图象,当0≤x≤5时,是正比例函数,当x>5是一次函数,所以这个函数的图象是一条折线.
解 (1)函数的图象是:
(2)自来水公司的收费标准是:当用水量在5吨以内时,每吨0.72元;当用水量在5吨以上时,每吨0.90元.
2.求直线y=-2x-3与x轴和y轴的交点,并画出这条直线.
分析 x轴上点的纵坐标是0,y轴上点的横坐标0.由此可求x轴上点的横坐标值和y轴上点的纵坐标值.
解 因为x轴上点的纵坐标是0,y轴上点的横坐标0,所以当y=0时,x=-1.5,点(-1.5,0)就是直线与x轴的交点;当x=0时,y=-3,点(0,-3)就是直线与y轴的交点.
过点(-1.5,0)和(0,-3)所作的直线就是直线y=-2x-3.
所以一次函数y=kx+b,当x=0时,y=b;当y=0时,.所以直线y=kx+b与y轴的交点坐标是(0,b),与x轴的交点坐标是.
1.在画函数的图象时,通过列表,可知我们选取的点是(0,-1)和(2,0),这两点都在坐标轴上,其中点(0,-1)在y轴上,点(2,0)在x轴上,我们把这两个点依次叫做直线与y轴与x轴的交点.
4.在平面直角坐标系中,画出函数的图象.我们画一次函数时,所选取的两个点有什么特征,通过观察图象,你发现这两个点在坐标系的什么地方?
3.平面直角坐标系中,x轴、y轴上的点的坐标有什么特征?
2.正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过哪一点的直线?
(正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过原点(0,0)的一条直线).
1.一次函数的图象是什么,如何简便地画出一次函数的图象?
(一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,画一次函数图象时,取两点即可画出函数的图象).
4.一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点(0,-2),且与直线平行,求它的函数表达式.
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