1．综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往仍用待定系数法．

例1 已知直线y＝x+b经过点A(3,0)，并与双曲线的交点为B(－2，m)和C，求k、b的值．

解 点A(3,0)在直线y＝x+b上，所以0＝3+b，b＝－3．

一次函数的解析式为：y＝x－3．

又因为点B(－2，m)也在直线y＝x－3上，所以m＝－2－3＝－5，即B(－2,－5)．

而点B(－2,－5)又在反比例函数上，所以k＝－2×(－5)＝10．

例2 已知反比例函数的图象与一次函数y＝k₂x－1的图象交于A(2,1)．

(1)分别求出这两个函数的解析式；

(2)试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系．

分析 (1)因为点A在反比例函数和一次函数的图象上，把A点的坐标代入这两个解析式即可求出k₁、k₂的值．

(2)把点A关于坐标原点的对称点A′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知A′是否在这两个函数图象上．

解 (1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以k₁＝2×1＝2．

1＝2 k₂－1，k₂＝1．

所以反比例函数的解析式为：；一次函数解析式为：y＝x－1．

(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A′(－2,－1)．

把A点的横坐标代入反比例函数解析式得，，所以点A在反比例函数图象上．

把A点的横坐标代入一次函数解析式得，y＝－2－1＝－3，所以点A不在一次函数图象上．

例3 已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A(0,1)和点B(a,－3a),a＜0，且点B在反比例函数的的图象上．

(1)求a的值．

(2)求一次函数的解析式，并画出它的图象．

(3)利用画出的图象，求当这个一次函数y的值在－1≤y≤3范围内时，相应的x的取值范围．

(4)如果P(m,y₁)、Q(m+1,y₂)是这个一次函数图象上的两点，试比较y₁与y₂的大小．

分析 (1)由于点A、点B在一次函数图象上，点B在反比例函数图象上，把这些点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出k、b和a的值．

(2)由(1)求出的k、b、a的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象．

(3)和(4)都是利用函数的图象进行解题．

解 (1)反比例函数的图象过点B(a,－3a)，，a＝±1，因为a＜0， 所以a＝－1． a＜0． B(－1,3)．

又因为一次函数图象过点A(0,1)和点B(－1,3)．

所以解得，．

即：一次函数的解析式为y＝－2x+1．

(2)

一次函数和反比例函数的图象为：

(3)从图象上可知，当一次函数y的值在－1范围内时，相应的x的值为：

－1≤x≤1．

(4)从图象可知，y随x的增大而减小，又m+1＞m，所以y₁＞y_2。

或解：当x₁＝m时，y₁＝－2m+1；当x₂＝m+1时，y₂＝－2×(m+1)+1＝－2m－1

所以y₁－y₂＝(－2m+1)－(－2m－1)＝2＞0，即y₁＞　y_2。

例4 如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．

(1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围．

分析 (1)把A、B两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式　．

(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标．

解 (1)观察图象可知，反比例函数的图象过点A(－2,1)，m＝－2×1＝－2．

所以反比例函数的解析式为：．又点B(1,a)也在反比例函数图象上，．即B(1,－2)．

因为一次函数图象过点A、B．所以解得，

一次函数解析式为：y＝－x－1．

(2)观察图象可知，当x＜－2或0＜x＜1时，一次函数的值大于反比例函数值．

　　 综合运用一次函数和反比例函数的知识解题，一般先根据题意画出图象，借助图象和题目中提供的信息解题．

已知正比例函数y＝ax和反比例函数的图象相交于点(1,2)，求两函数解析式．

分析 根据题意可作出图象．点(1,2)在正比例函数和反比例函数图象上，把点(1,2)代入正比例函数和反比例函数的解析式中，求出a和b．

解 因为点(1,2)在正比例函数和反比例函数图象上，

把x＝1，y＝2分别代入y＝ax和中，得

2＝a，，b＝2．

所以正比例函数解析式为y＝2x．

反比例函数解析式为．

4.已知反比例函数经过点A(2,－m)和B(n,2n)，求：

(1)m和n的值；

(2)若图象上有两点P₁(x₁,y₁)和P₂(x₂,y₂)，且x₁＜0＜ x₂，试比较y₁和 y₂的大小．

3.若反比例函数的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，求n的值．

2.已知y是x的反比例函数，且当x＝3时，y＝8,求：

(1)y和x的函数关系式；

(2)当时，y的值；

(3)当x取何值时，?

1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：

(1)；　　　　 (2)．

2.反比例函数有如下性质：

(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；

(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．

本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质．

1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola)．