19.2.1　 矩形(二)

教 学 过 程

备　　 注	教学设计　 与　　 师生互动
	第一步：课堂引入　 1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？ 2．矩形有哪些性质？ 3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？ 4．事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？ 总结：矩形的判定方法． 矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形． 矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形． 推论：直角三角形斜边的中线是斜边的一半. (指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．) 反馈归纳 (1)矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形. 　　 已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=900， 　　 求证：四边形ABCD是矩形. 　　 (方法指导：有一个角是900的平行四边形是矩形.) (2)矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形. 　　 已知：在平行四边形ABCD中，AC=DB， 　　 求证：平行四边形ABCD是矩形. 　　 (方法指导：平行四边形的邻角互补，同时三角形全等，邻角相等) (3)小结：用定义判定矩形，与定理1、定理2从条件的个数上有何区别？ 　　 定义：有一个角是直角平行四边形 　　 定理1：三个角是直角四边形 　　 定理2：对角线相等平行四边形
第二步：应用举例： 　 　例1(补充)下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？ 　　 (1)有一个角是直角的四边形是矩形；　　　　　　　　 (×) 　　 (2)有四个角是直角的四边形是矩形；　　　　　　　　 (√) 　　 (3)四个角都相等的四边形是矩形；　　 　　　　　　　　(√) 　　　(4)对角线相等的四边形是矩形；　　　　　　　　　　 (×) 　　　(5)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；　　　　　 (×) (6)对角线互相平分且相等的四边形是矩形；　　　　　 (√) (7)对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；　 (×) (8)一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；(√) 　　 (9)两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．　 (√) 　指出： 　　 (l)所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形； 　　 (2)所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论． 例2 (补充)已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积． 分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值． 解：∵　 四边形ABCD是平行四边形， ∴　 AO=AC，BO=BD． ∵　 AO=BO， ∴　 AC=BD． ∴　 ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)． 在Rt△ABC中， ∵　 AB=4cm，AC=2AO=8cm， ∴　 BC=(cm)． 　 　　例3 (补充)　已知：如图(1)，ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形． 分析：要证四边形EFGH是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图(2)，因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明． 证明：∵　 四边形ABCD是平行四边形， ∴　 AD∥BC． ∴　∠DAB+∠ABC=180°． 又　 AE平分∠DAB，BG平分∠ABC ， ∴　∠EAB+∠ABG=×180°=90°． ∴　∠AFB=90°． 同理可证　 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°． ∴　 四边形EFGH是平行四边形(有三个角是直角的四边形是矩形)．
第三步：随堂练习： 1．(选择)下列说法正确的是(　　 )． (A)有一组对角是直角的四边形一定是矩形(B)有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 (C)对角线互相平分的四边形是矩形　　　 (D)对角互补的平行四边形是矩形 2．已知：如图　，在△ABC中，∠C＝90°，　CD为中线，延长CD到点E，使得 DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形． 3、(1)有一组对角是直角的四边形一定是矩形.(　　 ) (2)有一组邻角是直角的四边形一定是矩形.(　　 ) (3)对角线互相平分的四边形是矩形.(　　 ) (4)对角互补的平行四边形是矩形.(　　 ) (5)有三个角是　　　 是矩形，有一个角是　　　　 是矩形. (6)两组对边分别平行，且对角线　　　　　　　 的四边形是矩形. 创新练习题 (1)满足下列条件(　　 )的四边形是矩形. (A)有三个角相等　　　　　　　 (B)有一个角是直角 (C)对角线相等且互相垂直　　　 (D)对角线相等且互相平分 达标练习题 (1)已知：如图，在平行四边形ABCD中，E为CD中点，三角形ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形. 　　 (2)回答：怎样用刻度尺，检查一个四边形是不是矩形. 综合应用练习 已知：如图，平行四边形ABCD的内角平分线交于点P、Q、M、N，求证：四边形PQMN是矩形.
第四步：课后练习 1．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： ⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①)，使AB＝CD，EF＝GH； ⑵ 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 　　形，根据的数学道理是：　　　　　 ； ⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④)，说明窗框合格，这时窗框是 　　形，根据的数学道理是：　　　 ； 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．
第五步：小结 　　 矩形的判定方法分两类：从四边形来判定和从平行四边形来判定． 常用的判定方法有三种：定义和两个判定定理．遇到具体题目，可根据条 件灵活选用恰当的方法．
课后反思 ：

19.2.1　 矩形(一)

教 学 过 程

备　　 注	教学设计　 与　　 师生互动
	第一步：课堂引入 1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门，活动衣架，篱笆、井架等)，想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？ 2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？(动画演示拉动过程如图) 3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？(小学学过的长方形)引出本课题及矩形定义． 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)． 矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象． [探究]在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上(作出对角线)，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状． ① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？ ② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？ 操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质． 矩形性质1　 矩形的四个角都是直角． 矩形性质2　 矩形的对角线相等． 如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=AC=BD． 因此可以得到直角三角形的一个性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
第二步：应用举例： 　例1 (教材P104例1)已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长． 分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求． 解：∵　四边形ABCD是矩形， ∴　AC与BD相等且互相平分． ∴　OA=OB． 又 　∠AOB=60°， ∴　 △OAB是等边三角形． ∴ 　矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8(cm)． 　例2(补充)已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长． 分析：(1)因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法． 略解：设AD=xcm，则对角线长(x+4)cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：，解得x=6． 则 AD=6cm． (2)“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE＝ 4.8cm．　 　例3(补充) 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC． 求证：CE＝EF． 　　 分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形． 　　 证明：∵　 四边形ABCD是矩形， ∴　 ∠B=90°，且AD∥BC．　 　∴　 ∠1=∠2． ∵　 DF⊥AE，　 ∴　 ∠AFD=90°． 　∴　 ∠B=∠AFD．又 AD=AE， ∴　 △ABE≌△DFA(AAS)． ∴　 AF=BE． ∴　 EF=EC． 　　 此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC． 　 例2　 已知：如图3，矩形ABCD中，于E，且. 　　 求：的度数. 　 分析：由已知可得.而所求是的一部分，就要研究与其它角的关系.因为OA＝OD，所以＝.把题目中的已知条件，与矩形的性质结合起来，得到基本图形直角三角形斜边上的高的形式，可以推出，于是得到，求的度数也就显然了. 图3 　　 解： 　　 　　 　 　　 例3　 已知：如图4，矩形ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过O点交AD于E，交BC于F，且EF＝BF，.求证：CF＝OF. 图4 　 　分析：欲证CF＝OF，只要，由矩形可知.由，可得到OE＝OF，又因为EF＝BF，有，由于，于是步，又有，
第三步：随堂练习 1．(填空) (1)矩形的定义中有两个条件：一是　　　　　　　 ，二是　　　　　　　　 ． (2)已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为　　　　 、　　　　 、　　　　 、　　　　 ． (3)已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为　　　　 cm，　　　　 cm，　　　　 cm，　　　　 cm． 2．(选择) (1)下列说法错误的是(　　 )． (A)矩形的对角线互相平分　 (B)矩形的对角线相等步为营 (C)有一个角是直角的四边形是矩形　 (D)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 (2)矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有(　　 )． (A)2对　 (B)4对　 (C)6对　 (D)8对 3．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数． 　3. 如图5，在矩形ABCD中，，求这个矩形的周长.(答案：16+) 　　　　 图5　　　　　　　　　 图6 　　 在矩形中若存在矩形对角线，那就一定要利用矩形对角线的性质，即相等又平分，转化成等腰三角形，利用等边对等角的性质. 　　 4、 已知：如图6，矩形ABCD中，AE平分交BC于E，若 求：的度数.(提示：要充分利用等腰，等边的性质) 　　 解：矩形ABCD，AE平分
第四步：课后练习 1．(选择)矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，较短边的长为(　 )． (A)12cm　　　 (B)10cm　　　　 (C)7.5cm　　　　 (D)5cm　 2．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数． 3．已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中点，求证：EA⊥ED． 4．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求证：∠CBE的度数．
课后小结与反思： 今天我们主要学习了矩形的定义及性质，矩形是角特殊的平行四边形，决定了矩形的四个角都是直角，对角线相等.由于矩形的对角线把矩形分割成直角三角形，等腰三角形，所以我们还要把直角三角形，等腰三角形，等边三角形的性质、判定好好复习一下，这对于解决矩形问题是大有好处的.

因铺设电线的需要，要在池塘两侧A、B处各埋设一根电线杆(如图)，因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够的米尺。请你设计一种方案，粗略测出A、B两杆之间的距离。

小结

以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为45°，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？

练习1、已知：如图，AD∥BC,AD=CB.

练习2、已知：如图，AD∥BC,AD=BC,AE=CF.

求证：△AFD≌△CEB

练习3、已知：如图，AB=AC,AD=AE, ∠1=∠2.

求证：△ADB≌△ACE

练习1、如图，下列哪组条件不能判定△ABC≌△DEF(　　 )

练习2、已知：如图，AC=AD, ∠CAB=∠DAB

求证：△ACB≌△ADB

练习3、已知:如图，AB=AC,AD=AE.

求证: △ABE≌△ACD

画一个△ABC,使AB=5cm，AC=3cm。

这样画出来的三角形与同桌所画的三角形进行比较，它们互相重合吗？

若再加一个条件，使∠A=45°，画出△ABC

把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角形进行比较，它们能互相重合吗？

三角形全等判定方法1：

用符号语言表达为：

全等三角形的性质是什么？

如：△ABC≌△DEF,可以写出以下推理：

15．在△ABC中,∠ACB＝90^o,AC＝BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.

⑴当直线MN绕点C旋转到图⑴的位置时,求证:①△ACD≌△CEB;②DE＝AD+BE

⑵当直线MN绕点C旋转到图⑵的位置时,求证:DE＝AD－BE;

⑶当直线MN绕点C旋转到图⑶的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系,并加以证明.

注意:第(2)、(3)小题你选答的是第　　　 小题.

14．如图,在四边形ABCD中,已知BD平分∠ABC,∠A+∠C＝180^o,试说明AD＝CD.