(与学生共同梳理、总结梯形的判定方法及添加辅助线的解决有关梯形问题的常用方法)
等腰梯形的判定方法:
(1)两腰相等
(2)同底上的两个角相等
梯形的画法：画出符合条件的梯形,通常先要“分析”,借助铺线找出可以画出的部分图形(等腰三角形,直角三角形等).
梯形中常用的四种辅助线的添法(如下图):
1;课本P119练习3,4.
2,参看列1:证法三.
2,画法:参看补充题.
腰长=
周长=2
面积=
2、补充练习.
(1)等腰梯形与等腰三角形有哪些联系?
有两各内角是70
得梯形一定是等腰梯形?为什么?
受刚才做图的启发：只有等腰三角形才能得到等腰梯形。请同学们靠虑下面的问题。
议一议：
“在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形”这个命题成立吗？能否加以证明。
学生活动：
(通过想一想，试一试，议一议。做一做的小活动，初步懂得添加辅助线的一般方法，学会将梯形问题转化为平行四边形、矩形、等腰三角形来处理)
证法一:如图延长BA.CD相交于点E.
∵∠B＝∠C(三角形中等角对边等)
∴BE＝CE.
∵四边形ABCD是梯形,
∴AD∥BC.
∴∠EAD＝∠B,∠EDA＝∠C.
即AB＝CD,
∴梯形ABCD是等腰梯形.
证法二: 如图将CD平移到AE位置.
此时四边形AECD是平行四边形.
则AE∥CD且AE＝CD,
∴∠AEB＝∠C.
又∵∠B＝∠C,
∴∠B＝∠AEB.
∴AB＝AE.(三角形等角对边等)
∴AB＝CD.
因此梯形ABCD是等腰梯形.
证法三: 如图
作梯形ABCD的高AE、DF分别交于BC于E、F.
∵梯形上、下底平行,即AD∥BC,
∴AE＝DF.(夹在平行线间的垂线段相等)
又∵∠AEB＝∠DFC＝90°,∠B＝∠C,
∴△ABE≌△DCF.
∴AB＝DC
∴梯形ABCD是等腰梯形.
通过活动，同学的说理能力以有了很大提高。由此我们也得到等腰梯形的两种判定方法。
(1) 两腰相等的梯形是等腰梯形。
(2) 同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
应用举例：
[列2]如下图,梯形ABCD中,BC∥AD,DC∥AB.DE＝DC,∠A＝100°,求梯形其他三个内角的度数.
师生共析：
(1) 梯形上、下底平行,可以由同旁内角互补求得∠B=80°
(2) 可想办法证明梯形ABCD是等腰梯形,从而解决∠C和∠ADC的问题.
解:∵BC∥AD,DE∥AB,
∴四边形ABED是平行四边形.
∴AB=DE.
又DE=DC
∴AB=DC.
梯形ABCD是等腰梯形,
∴∠C=∠B=180°-∠A=80°,
∠D=∠A=100°.
补充题:画一个等腰梯形,使它的上.下底分别为4cm和10cm,高为3cm.
分析:假设等腰梯形ABCD已画出,如下图,作出高AE和DF,可证得Rt△ABE Rt△DCF,所以EF=AD=4cm,BE=CF=
=3cm.于是可先画出Rt△ABE,进而确定点C,过A作AD∥BC,使AD=4cm,可确定D,连接DC,即可确定等腰梯形ABCD.
画法：(1)画Rt△ABE使∠AEB=90°,AE=3cm,BE=3cm.
(2)延长BE到C使BC=10cm.
(3)过A作AM∥BC,且使BC、AM在AB的同旁,在AM上截取AD=10cm.
(4)连接DC,则梯形ABCD就是所要画的等腰梯形.(如图)
(还可以启发学生思考、讨论,得多种画法)
如左下图,平行移动一腰AB到DF,可在Rt△CDF中算出腰CD的长,CD=
(cm),因此可先画出等腰△DCE,从而画出等腰梯形ABCD；又如右下图利用等腰梯形轴对称图形,且对称轴是连结上、下两底中点的线段所在的直线.因此可以先画梯形ABEF使EF=3cm,EF⊥BE,BE=6cm,AF∥BE.然后利用轴对称性画
出等腰梯形ABCD.
上节课,我们研究了梯形,并且研究了特殊的梯形-等腰梯形的概念及其性质,请同学们说出什么样的梯形是等腰梯形?两腰梯形有什么性质?
(学生讨论)等腰梯形是特殊的梯形,所以它具有梯形的性质,它还具有下列一般梯形所不具备的性质.同一底上两个内角相等；对角线相等；是轴对称图形.
下面请同学们来做一做(老师播放课件,学生进行画、讨论、总结)
在下图中的每个三角形中画一条线段.
(1) 怎样画才能得到一个梯形?
(2) 在哪些三角形中,能够得到一个等腰梯形呢?
(1) 因为梯形的上、下两底平行且不相等，所以只要在三角形的两边上各找一点，使这两点的连线平行于第三边即可得到梯形。
(2) 第(2)(3)个三角形中能够得到一个等腰梯形。在等腰三角形的两腰上分别找一点，使这两点的连线平形于等腰三角形的底边即可得到一个等腰梯形。
(3) 说得太好了，这节课，我们就来探讨等腰梯形的判定。
4．梯形、多边形面积的计算
小学学过的梯形面积S=(a+b)h÷2 ，而l=(a+b)÷2，推出S=lh(l为梯形中位线长，h为梯形高)．
多边形面积的求法，任意多边形面积可以通过辅助线，把它分割成三角形、平行四边形、梯形，就可以利用这些图形的面积公式计算任意多边形面积．
例1：课本P121习题第9题(让学生思考并寻求证明方法，教师加以巡视及点拨.)
,且有MN∥BC∥AD 
例2 有一块四边形的地ABCD， 测得AB=26m，BC=10m，CD=5m，顶点B、C到AD的距离分别为10m、4m，求这块地的面积．19．3 梯形(三)
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教学目标 |
知识与技能 |
使学生掌握梯形中位线定理，并能熟练地用它进行有关的论证和计算，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生具有“类比”和“转化”的数学思想和应用意识. |
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过程与方法 |
经历探索会运用梯形的中位线和性质进行有关问题的论证和计算. |
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情感态度与价值观 |
通过探索梯形的中位线的性质，提升学生的对知识的横向联系的素质 |
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重点 |
梯形中位线性质及其证明． |
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难点 |
任意多边形面积的计算． |
教学过程
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备 注 |
教学设计 与 师生互动 |
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第一步：复习提问 1．什么叫做三角形的中位线？它有什么性质？ 2．等边三角形各边中点的连线形成什么图形？  ，3.梯形也有中位线．那么梯形的中位线及性质是什么？ |
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第二步：讲授新课： 1．梯形中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． 强调：梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底中点的线段． 2．梯形中位线定理 梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． 该定理的证明关键是如何添加辅助线，把梯形中位线转化成三角形的中位线． 设法把梯形中位线转化为三角形中位线． 3. 等腰梯形的常用辅助线的添加方法 作法一：过点C作CF∥AD交AB延长线于F 作法二：过A作AF⊥DC于F，BE⊥DC于E 作法三：延长DA、CB交于点O 作法四： 过点B作 BE∥AD，交DC于点 
作法五：过点B作BE∥AC交DC延长线于点E  
作法一 作法二
作法三 作法四
作法五 3．做-做--探索等腰梯形的性质(引入用轴对称解决问题的思想)． 在一张方格纸上作一个等腰梯形，连接两条对角线． [问题一] 图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角？这个图形是轴对称图形吗？学生画图并通过观察猜想； [问题二] 这个等腰梯形的两条对角线的长度有什么关系？ 结论： ①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴． ②等腰梯形同一底上的两个角相等． ③等腰梯形的两条对角线相等． 解决梯形问题常用的方法： (1)“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形(图1)； (2)“作高”：使两腰在两个直角三角形中(图2)； (3)“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中(图3)； (4)“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形(图4)； (5)“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形(图5)．
图1 图2 图3 图4 图5 综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决． |
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第三步；应用举例： 例1(教材P118的例1)略． (延长两腰 梯形辅助线添加方法三)例2(补充)如图，梯形ABCD中，AD∥BC， ∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．  求CD的长．分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题．其方法是：平移一腰，过点A作AE∥DC交BC于E，因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形(EA=EB)，因此CD=EA=EB=BC-EC=BC-AD=9cm． 
解(略)．例3 (补充) 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠CAB＝∠ABC， BE⊥AC于E．求证：BE＝CD． 
分析：要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：平移一腰，过点D作DF∥AB交BC于F，因此四边形ABFD是平行四边形，则DF=AB，由已知可导出∠DFC=∠BAE，因此Rt△ABE≌Rt△FDC(AAS)，故可得出BE=CD．证明(略) 另证：如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD，证明△ABE≌△FDC即可． 例4：求证：等腰梯形的两条对角线相等 已知： 求证： 例5：如图4.9-4，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm,求CD的长.    例6：已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长. 已知： 求证： 例4：已知：如图4.9-5，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，求证：AD+BC=DC. |
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第四步：课堂练习 1、填空 (1)在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= . (2)直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是 和 . (3)等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= . 2、如图4.9-6，等腰梯形ABCD中，AB=2CD，AC平分∠DAB，AB＝  ，(1)求梯形的各角.(2)求梯形的面积.3、(1)在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= ． (2)直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是 和 ． (3)等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= ．  4．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长． (AD=DC=BC=4，AB=8) |
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第五步：课后练习 1．填空：已知直角梯形的两腰之比是1∶2，那么该梯形的最大角为 ，最小角为 ． 2．已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长和面积． 3．已知：如图，梯形ABCD中，CD//AB，  ， ．求证：AD=AB-DC． 4．已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，求证：AD+BC=DC．(延长DE交CB延长线于点F，由全等可得结论) |
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第六步：课堂小结 1、梯形的定义及分类 2、等腰梯形的性质： (1)具有一般梯形的性质：AD∥BC. (2)两腰相等：AB=CD. (3)两底角相等：∠B=∠C，∠A=∠D. (4)是轴对称图形，对称轴是通过上、下底中点的直线. (5)两条对角线相等：AC=BD. 两条对角线的交点在对称轴上. 两腰延长线的交点在对称轴上. |
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课后反思 ： |
19．3 梯形(一)
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教学目标 |
知识与技能 |
1. 知道梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念；能说出并证明等腰梯形的两个性质；等腰梯形同一底上的两个角相等；两条对角线相等． 2. 会运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算． 3. 通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想． |
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过程与方法 |
经历探索梯形的有关性质、概念的过程，发展学生学习数学中的转换、化归思维方法，体会平移，轴对称的有关知识在梯形中应用. |
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情感态度与价值观 |
增强主动探索意识，发展合情推理思维，体会逻辑思维训练在实际问题中的价值. |
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重点 |
等腰梯形的性质及其应用． |
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难点 |
解决梯形问题的基本方法(将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线)，及梯形有关知识的应用． |
教学过程
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备 注 |
教学设计 与 师生互动 |
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第一步：复习引导 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质
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平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
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第二步：课堂引入 1．创设问题情境--引出梯形概念． [观察](教材P117中的观察)右图中，有你熟悉的图形吗？它们有什么共同的特点？ 2．画一画：在下列所给图中的每个三角形中画一条线段，  [思考](1)怎样画才能得到一个梯形？(2)在哪些三角形中，能够得到一个等腰梯形？
梯形 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形． (强调：①梯形与平行四边形的区别和联系；②上、下底的概念是由底的长短来定义的，而并不是指位置来说的．) (1)一些基本概念(如图)：底、腰、高．
腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰. 高：两底间的距离叫做梯形的高. 直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形. 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形. (2)等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形． (3)直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
2、预习梯形的判定及应用。 1、习题19·3 1、2、6、9 同步练习册答案 湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区 违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com版权声明：本站所有文章，图片来源于网络，著作权及版权归原作者所有，转载无意侵犯版权，如有侵权，请作者速来函告知，我们将尽快处理，联系qq：3310059649。 ICP备案序号: 沪ICP备07509807号-10 鄂公网安备42018502000812号 |
底：平行的一组对边叫做梯形的底.(较短的底叫做上底，较长的底叫做下底)
