2.正确应用互逆命题与互逆定理
重点与难点:区分互逆命题与互逆定理
教学过程:
我们已经知道,可以判断正确或错误的句子叫做命题.例如“两直线平行,内错角相等”、“内错角相等,两直线平行”都是命题.
上面两个命题的题设和结论恰好互换了位置.
一般来说,在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一命题就叫做它的逆命题.
命题“两直线平行,内错角相等”的
题设为____________________________________;
结论为____________________________________.
因此它的逆命题为
_____________________________________________.
每一个命题都有逆命题,只要将原命题的题设改成结论,并将结论改成题设,便可得到原命题的逆命题.但是原命题正确,它的逆命题未必正确.例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”,此命题就是假命题.
如果一个定理的逆命题也是定理,那么这两个定理叫做互逆定理,其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
我们已经知道命题“两直线平行,内错角相等”和它的逆命题“内错角相等,两直线平行”都是定理,因此它们就是互逆定理.
一个假命题的逆命题可以是真命题,甚至可以是定理.例如“相等的角是对顶角”是假命题,但它的逆命题“对顶角相等”是真命题,且是定理.
练习
1.互逆命题与互逆定理
教学目的:1.理解互逆命题与互逆定理
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1.链接生活
链接一:能够成为直角三角形三条边长的正整数,称为勾股数(或勾股弦数).勾股数有无数组.你能举出几组?
链接二:古埃及人曾用下面的方法画直角:(如图所示)他们把一根长绳打上等距离的13个结,一个工匠同时握住第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第8个结,拉紧绳子,在第4个结处就得到了一个直角.请你说出这种做法的根据.
2.巩固练习
(1)已知:如图所示,在△ABC中,AB=13,BC=10,BC边上的中线AD=12,求证:AB=AC.(提示:因为BD2+AD2=AB2所以AD⊥BC,又BD=CD所以AD为BC的垂直平分线,从而AB=AC)
(2)已知:如图所示,四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.(提示:连结AC,由勾股定理得出AC=5,再由勾股定理逆定理证明AC⊥CD.分别计算△ABC和△ACD的面积即可)
(3)如图所示,已知,CD⊥AB于D,且AC2=AD·AB.求证:△ABC为直角三角形.
(提示:因为BC2=CD2+BD2
而AC2=AD·AB=AD·(AD+BD)=AD2+BD·AD
则CD2=BD·AD
所以BC2=BD·AD+BD2=BD·(AD+BD)=BD·AB
所以AC2+BC2=AB·(AD+BD)=AB2)
5.学习小结
(1)引导学生作知识总结:
①了解原命题与逆命题的关系.
②记住并会证明勾股定理的逆定理.
③能由三边长判定三角形是不是直角三角形.
(2)教师拓展:判定的具体步骤:
①计算两条较短边的平方和与最长边的平方;
②比较这两个数值的大小;
③给出结论.
4.达标反馈
(1)判断题
①任何命题都有逆命题,任何定理都有逆定理.(×)
②“若x=y,则x2=y2”的逆命题是假命题. (∨)
③一个假命题的逆命题一定是错误的. (×)
(2)判断由如下三组线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形.
①a=10,b=24,c=26 (∨)
②a=1.5,b=2,c=2.5 (∨)
③a=b=2,c=4
(∨)
④a=4,b=5,c=6 (×)
(3)已知:△ABC中,三条边长分别为a,b,c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1),求证:∠C=90°(提示:通过比较得出c最大,再验证明a2+b2=c2)
2.课前热身
生A:“两直线平行,内错角相等”.
生B:题设为“两条直线平行”,结论为“内错角相等”.
生B:“内错角相等,两直线平行”.
生A:题设为“内错角相等”,结论为“两直线平行”.
1.情境导入
游戏:将全班同学分成两组A、B,每组说出一个命题,由另一组说出题设和结论.比一比,看哪组同学说得又快又好.
2.掌握勾股定理逆定理的证明,并会运用逆定理判定直角三角形.
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