2. 教学难点：

　　 ①一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系；一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件。

　　 ②在列一元二次方程的方法解应用题时，分析题意找等量关系是难点；注意求解后，检验根是否符合实际意义。

[典型例题]

　 例1. 分解因式

　　 ①　　　　　　　 ②

　　 ③　　　　　 ④

　　 ⑤

　　 分析：前四个均为二次三项式或二元二次三项式的因式分解，直接用公式进行分解。

　　 其中为方程的两根。

　　 ，其中为关于x的方程的两根。

　　 第五个用平方差公式，再用公式法分解二次三项式。

　　 解：①令

　　 ∴

　　 ②解法1：令，则

　　 ∴

　　 解法2：

　　 解法3：

　　 ③令，解这个关于x的方程得：

　　 ∴

　　 ④∵

　　 ∴不能因式分解，在实数范围。

　　 ⑤

　　 ∵令，无实根。

　　 ∴在实数范围内不能分解因式。

　　 ∵令

　　 ∴

　　 ∴

　　 点拨：②中三种方法各有千秋，公式法，配方法，十字相乘法，注意结果写成幂的形式。③二元时选其中一元为主元，另一元为已知数，即可。注意最终结果的简洁形式，④⑤中都要考虑二次三项式可在实数范围内因式分解的条件是：，⑤要综合应用，并注意因式分解必须彻底。

　 例2. 分解因式：

　　 分析：形如的多项式，叫关于x，y的二元二次多项式，它的因式分解有三种方法：①双十字相乘法，②待定系数法，③公式法。

　　 解：解法1：

　　 ∵

　　 ∴

　　 解法2：设

　　 比较对应项系数

　　 ∴

　　 解法3：整理为关于x的二次三项式

　　 令，则

　　 ∴

　　 ∴

　 例3. 黄岗百货商店服装柜销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为迎接“六·一”，商场决定降价，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么每天平均可多售8件，要想每天平均在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

　　 分析：经济类问题应用。要切实理解减少库存是本题需要。

　　 解：设每件童装应降价x元，根据题意，

　　 解得：

　　 因要减少库存，∴，

　　 答：每件童装应降价20元。

　例4. 某中学的校办工厂的年产值1998年是50万元，年年增加，到2000年达60.5万元。问(1)平均每年的年产值增长率是多少？(2)三年总产值多少？

　　 分析：储蓄中复利计本利和与生产值增长率问题。假设年利率为x，本金a，则n年后本利和为，增长率亦如此。

　　 解：(1)设每年平均增长率x，则1999年产值万元，2000年产值万元，

　　 由题意：

　　 解得：(不合题意，舍去)

　　 答：平均每年增长率为10%。

　　 (2)

　　 答：1998至2000年这三年总产值为165.5万元。

　　 点拨：注意舍去不合题意的根，别忽略(2)的计算与做答。

　 例5. 两个连续偶数积为288，求这两个数。

　　 分析：两个连续偶数差2，可设x，。

　　 解：设这两个偶数分别为x，x+2，根据题意，

　　 解得：

　　 答：这两个连续偶数是16，18或－18，－16。

　　 点拨：如果两个连续奇数也可这样设，但更好的设法是：

　　 ，就有

　　 ∴更简单。

　 例6. 一个矩形的硬纸片，它的长比宽的2倍少4厘米，在它的四个角上各剪去一个边长为2厘米的正方形，然后折成一个无底的小盒子，如果这个小盒的体积为484立方厘米，求原来矩形纸片的长和宽。

　　 分析：设原矩形宽为x厘米，那么长厘米，在四个角各剪去一个边长为2厘米的正方形折成无盖小盒，则小盒底面宽为厘米，长为厘米，高为2厘米。

　　 解：设原矩形纸片的宽为x厘米，则长为厘米，根据题意列方程，得：

　　 ∴(负值舍去)

　　 ∴

　　 答：原矩形纸片的长为26厘米，宽为15厘米。

　　 点拨：列一元二次方程可解决体面积有关的应用题，注意舍根。

　 例7. 一个直角三角形，斜边，两条直角边长相差，求这个直角三角形的两条直角边的长。

　　 分析：在Rt△中，三边a，b，c满足，这是构造方程的相等关系。

　　 解：设一条直角边长为x cm，则另一条边长为。

　　 根据题意列方程　

　　　　　　　　 解得　 (不合题意，舍去)

　　 。

　　 答：两条直角边长分别是8cm和4cm。

　　 点拨：很多几何题求边时，用方程思想解决，而相等关系多由勾股定理提供，掌握本题很重要，体现了“几何问题代数化”。

　 例8. 用100cm的金属丝，作成矩形的框子，使面积分别为(1)500cm²；(2)625cm²；(3)800cm²。是否办得到，求出它的长和宽(精确到mm)。

　　 分析：可列方程组解决面积问题。

　　 解：设矩形长为x(cm)，宽为y(cm)，则

　　 (1)

　　 由为方程的两根。

　　 答：面积为500cm²时，长约是36.2cm，宽约是13.8cm。

　　 (2)

　　 易知x，y是方程的两根，

　　 答：面积为625cm²时，长是25cm，宽也是25cm，围成边长25cm的正方形。

　　 (3)

　　 x，y为方程的两根，

　　 无实根。

　　 答：面积800cm²，周长100cm的矩形不存在。

　　 点拨：解题后，思考三小题：用100cm长的铁丝围成500cm²的矩形做成了；再围大点，面积625cm²，围成了正方形；再大点，面积800cm²，围不成。长度有限的铁丝怎能围出要多大，有多大的矩形呢！当正方形时面积达到最大值。

［总结扩展］

　　 (1)用公式法将二次三项式因式分解的步骤是先求出方程的两个根，再将形式。

　　 (2)二次三项式因式分解的条件是：当，二次三项式在实数范围内可以分解；时，二次三项式在实数范围内不可以分解。

　　 (3)联系所学知识总结出遇见二次三项式因式分解的步骤：①首先考虑能否提取公因式；②其次考虑能否选用十字相乘法；③最后考虑公式法。

　　 (4)通过二次三项式因式分解的学习，提高分析问题、解决问题的能力；通过结论探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律。

　　 (5)注意：①在进行类似分解因式时，千万不要漏掉字母y；②因式分解一定进行到不能再分解为止；③分解时注意二次三项式因式分解的条件。

　　 (6)“一元二次方程的应用”是“一元一次方程的应用”的继续和发展。由于用一元一次方程(或一次方程组)解的应用题，一般都可以用算术方法解，而用一元二次方程来解的应用题，一般说是不能用算术法来解的。所以，通过学习大家要认识到用代数方法解应用题的优越性和必要性。

　　 (7)列方程解应用题的方法来说，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程，解方程，判断根是否适合题意，作出正确的答案。列出一元二次方程，其应用相当广泛，如在几何、物理及其他学科中都有大量问题存在。

　　 (8)善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程。由此培养学生用数学的意识，渗透转化与方程的思想方法。

　　 (9)进一步体会数字在实践中的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力。

[模拟试题](答题时间：30分钟)

1. 教学重点：

　　 ①应用公式法将二次三项式因式分解；会用列一元二次方程的方法解决实际应用的问题。

　　 ②在列一元二次方程的方法解应用题时，分析题意找出表示全部含义的相等关系，是能否列出方程的前提和保证。

4. 通过一元二次方程的应用的学习，提高化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力，培养用数学的意识；深刻体会转化，方程，数形结合等初等数学的思想方法。

3. 通过二次三项式的因式分解的学习，提高分析问题，解决问题的能力；进一步了解认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般。

2. 学会用列一元二次方程的方法解实际应用题。

　　 二次三项式的因式分解(用公式法)及一元二次方程的应用

［学习目标］

1. 熟练掌握二次三项式的意义；了解二次三项式的因式分解与解一元二次方程的关系；运用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式。

备课资料(略)

3．补充例题(投影片§2．4．2 C)

2．有关桥梁问题(投影片§2.4.2 B)

2．补充练习

　　 确定下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标．

　 (1)y=-x²+；

(2)y=x²-

解：(1)y=-x²+

=-(x²-)

=-( x²-)

=-(x-)²+.

开口方向向下，对称轴为x=,顶点坐标为(,).

　　 (2)y=x²-

=(x²-x-30)

=(x²-x+--30)

=(x-)²-.

开口方向向上，对称轴是x=　 ，顶点坐标为(, )．

　　 Ⅳ．课时小节

　　 本节课学习了如何用配方法把二次函数的一般形式化成顶点式，并能根据顶点式解决一些问题．

　　 Ⅴ．课后作业

　　 习题2．5

　　 Ⅵ．活动与探究

　　 利用Z+Z智能教育平台(新世纪版)研究二次函数的图象．

　　 利用Z+Z智能教育平台(新世纪版)可以探索二次函数y=ax²+bx+c的系数(a，b，c与图象变化之间的关系．

　　 先考察二次函数y＝ax²的系数a对图象的影响．

利用Z十Z智能教育平台(新世纪版)在计算机上作出二次函数y＝ax²的图象．其中系数a可以通过鼠标拖动y轴上标识为a的点而变化．图1和图2是a取不同值时得到的两个图象：

板书设计

§2．4．2　 二次函数y＝ax²+bx+c的图象(二)