5. 夏令营活动中,田亮和李媛两位同学,同时从营地出发,步行15千米去完成老师交给的一项任务,田亮比李媛每小时多走1千米,结果比李媛早到半小时。设李媛每小时走千米,依题意得到的方程是( )
A. B.
C. D.
4. 方程的根是( )
A. B.
C. D.
3. 下列四边形中,是轴对称图形,不是中心对称图形的是( )
A. 菱形 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 等腰梯形
2. 如果,那么的值为( )
A. B. C. D.
1. 的值等于( )
A. 1 B. C. D.
4、(2006山东济南)如图1,以矩形的两边和所在的直线为轴、轴建立平面直角坐标系,点的坐标为点的坐标为.将矩形绕点逆时针旋转,使点落在轴的正半轴上,旋转后的矩形为相交于点.
(1)求点的坐标与线段的长;
(2)将图1中的矩形沿轴向上平移,如图2,矩形是平移过程中的某一位置,相交于点,点运动到点停止.设点运动的距离为,矩形与原矩形重叠部分的面积为,求关于的函数关系式,并写出的取值范围;
(3)如图3,当点运动到点时,平移后的矩形为.请你思考如何通过图形变换使矩形与原矩形重合,请简述你的做法.
[解析]
(1)如图1,因为,所以点的坐标为.
.
(2)在矩形沿轴向上平移到点与点重合的过程中,点运动到矩形的边上时,求得点移动的距离.
当自变量的取值范围为时,如图2,由,
得,此时,.
即(或).
当自变量的取值范围为时,
求得(或).
3、(2006重庆)如图1所示,一张三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成和两个三角形(如图2所示).将纸片沿直线(AB)方向平移(点始终在同一直线上),当点于点B重合时,停止平移.在平移过程中,与交于点E,与分别交于点F、P.
(1) 当平移到如图3所示的位置时,猜想图中的与的数量关系,并证明你的猜想;
(2) 设平移距离为,与重叠部分面积为,请写出与的函数关系式,以及自变量的取值范围;
(3)对于(2)中的结论是否存在这样的的值,使重叠部分的面积等于原面积的.
若存在,求x的值;若不存在,请说明理由.
[解析] (1).因为,所以.
又因为,CD是斜边上的中线,
所以,,即
所以,,所以
所以,.同理:.
又因为,所以.所以
(2)因为在中,,所以由勾股定理,得
即
又因为,所以.所以
在中,到的距离就是的边上的高,为.
设的边上的高为,由探究,得,所以.
所以.
又因为,所以.
又因为,.
所以 ,
而
所以
(3) 存在. 当时,即
整理,得解得,.
即当或时,重叠部分的面积等于原面积的.
2、(2006河北)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=16,动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动,动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动.P,Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.在运动过程中,△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ.设运动时间为t(秒).
(1)设四边形PCQD的面积为y,求y与t的函数关系式;
(2)t为何值时,四边形PQBA是梯形?
(3)是否存在时刻t,使得PD∥AB?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(4)通过观察、画图或折纸等方法,猜想是否存在时刻t,使得PD⊥AB?若存在,请估计t的值在括号中的哪个时间段内(0≤t≤1;1<t≤2;2<t≤3;3<t≤4);若不存在,请简要说明理由.
[解析] (1)由题意知 CQ=4t,PC=12-3t,
∴S△PCQ =.
∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称,
∴y=2S△PCQ .
(2)当时,有PQ∥AB,而AP与BQ不平行,这时四边形PQBA是梯形,
∵CA=12,CB=16,CQ=4t, CP=12-3t,
∴ ,解得t=2.
∴当t=2秒时,四边形PQBA是梯形.
(3)设存在时刻t,使得PD∥AB,延长PD交BC于点M,如下图,
若PD∥AB,则∠QMD=∠B,又∵∠QDM=∠C=90°,
∴Rt△QMD∽Rt△ABC,
从而,
∵QD=CQ=4t,AC=12,
AB=20,
∴QM=.
若PD∥AB,则,得,
解得t=.
∴当t=秒时,PD∥AB.
(4)存在时刻t,使得PD⊥AB.
时间段为:2<t≤3.
1、(2006山东青岛)如图①,有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起(点A与点E重合),已知AC=8cm,BC=6cm,∠C=90°,EG=4cm,∠EGF=90°,O 是△EFG斜边上的中点.
如图②,若整个△EFG从图①的位置出发,以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移,在△EFG 平移的同时,点P从△EFG的顶点G出发,以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动,当点P到达点F时,点P停止运动,△EFG也随之停止平移.设运动时间为x(s),FG的延长线交 AC于H,四边形OAHP的面积为y(cm2)(不考虑点P与G、F重合的情况).
(1)当x为何值时,OP∥AC ?
(2)求y与x 之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围.
(3)是否存在某一时刻,使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24?若存在,求出x的值;若不存在,说明理由.
(参考数据:1142 =12996,1152 =13225,1162 =13456
或4.42 =19.36,4.52 =20.25,4.62 =21.16)
[解析] (1)∵Rt△EFG∽Rt△ABC ,
∴,.
∴FG==3cm.
∵当P为FG的中点时,OP∥EG ,EG∥AC ,
∴OP∥AC.
∴ x ==×3=1.5(s).
∴当x为1.5s时,OP∥AC .
(2)在Rt△EFG 中,由勾股定理得:EF =5cm.
∵EG∥AH ,
∴△EFG∽△AFH .
∴.
∴.
∴ AH=( x +5),FH=(x+5).
过点O作OD⊥FP ,垂足为 D .
∵点O为EF中点,
∴OD=EG=2cm.
∵FP=3-x ,
∴S四边形OAHP =S△AFH -S△OFP
=·AH·FH-·OD·FP
=·(x+5)·(x+5)-×2×(3-x )
=x2+x+3
(0<x<3.
(3)假设存在某一时刻x,使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24.
则S四边形OAHP=×S△ABC
∴x2+x+3=××6×8
∴6x2+85x-250=0
解得 x1=, x2= -(舍去).
∵0<x<3,
∴当x=(s)时,四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24.
24.(本小题满分12分)
如图,以矩形OCPD的顶点O为原点,它的两条边所在的直线分别为x轴和y轴建立直角坐标系. 以点P为圆心, PC为半径的⊙P与x轴的正半轴交于A、B两点, 若抛物线y=ax2+bx+4经过A, B, C三点, 且AB=6.
⑴求⊙P的半径R的长;
⑵求该抛物线的解析式并直接写出该抛物线与⊙P的第四个交点E的坐标;
⑶若以AB为直径的圆与直线AC的交点为F, 求AF的长.
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