0  203895  203903  203909  203913  203919  203921  203925  203931  203933  203939  203945  203949  203951  203955  203961  203963  203969  203973  203975  203979  203981  203985  203987  203989  203990  203991  203993  203994  203995  203997  203999  204003  204005  204009  204011  204015  204021  204023  204029  204033  204035  204039  204045  204051  204053  204059  204063  204065  204071  204075  204081  204089  447090 

36.(2008湖南益阳市) △ABC是一块等边三角形的废铁片,利用其剪裁一个正方形DEFG,使正方形的一条边DE落在BC上,顶点FG分别落在ACAB上.

  Ⅰ.证明:△BDG≌△CEF

Ⅱ. 探究:怎样在铁片上准确地画出正方形.

小聪和小明各给出了一种想法,请你在a和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果两题都解,只以a的解答记分.

a. 小聪想:要画出正方形DEFG,只要能计算出正方形的边长就能求出BDCE的长,从而确定D点和E点,再画正方形DEFG就容易了.

设△ABC的边长为2 ,请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示,不要求分母有理化) .

b. 小明想:不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是:

     ①在AB边上任取一点G’,如图作正方形G’D’E’F’

②连结BF’并延长交ACF

③作FEF’E’BCEFGFG′交ABGGDG’D’BCD,则四边形DEFG即为所求.

你认为小明的作法正确吗?说明理由.

Ⅰ.证明:∵DEFG为正方形,

GD=FE,∠GDB=∠FEC=90°

       ∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°

       ∴△BDG≌△CEF(AAS)

   Ⅱa.解法一:设正方形的边长为x,作△ABC的高AH

求得

               由△AGF∽△ABC得:

解之得:(或)

解法二:设正方形的边长为x,则

     在Rt△BDG中,tanB=

解之得:(或)

解法三:设正方形的边长为x

           由勾股定理得:

           解之得:

b.解: 正确

       由已知可知,四边形GDEF为矩形

          ∵FEF’E’

同理

          又∵F’E’=F’G’

FE=FG

因此,矩形GDEF为正方形

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34.(2008广东肇庆市)如图5,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,正方形DEFG的顶点D在边AC上,点EF在边AB上,点G在边BC上.

(1)求证AE=BF

(2)若BC=cm,求正方形DEFG的边长.

解:(1)∵  等腰Rt△ABC中,∠90°,

∴  ∠A=∠B                     

∵ 四边形DEFG是正方形,

∴  DEGF,∠DEA=∠GFB=90°

∴  △ADE≌△BGF

∴  AEBF

(2)∵ ∠DEA=90°,∠A=45°

∴ ∠ADE=45°

AE=DE.   同理BF=GF

∴  EFAB===cm

∴ 正方形DEFG的边长为

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33. (2008黑龙江黑河)已知:正方形中,绕点顺时针旋转,它的两边分别交(或它们的延长线)于点

绕点旋转到时(如图1),易证

(1)当绕点旋转到时(如图2),线段之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明.

(2)当绕点旋转到如图3的位置时,线段之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.

.

 解:(1)成立.

如图,把绕点顺时针,得到

则可证得三点共线(图形画正确)

证明过程中,

证得:

证得:

(2)

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28.(2008湖北黄冈)已知:如图,点是正方形的边上任意一点,过点的延长线于点.求证:

解:∵ 四边形ABCD是正方形,

∴  AD=CD  ,∠A=∠DCF=900

又∵ DF⊥DE

∴ ∠1+∠3=∠2+∠3

∴ ∠1=∠2

在Rt△DAERt△DCE中,

∠1=∠2

AD=CD

∠A=∠DCF

∴ Rt△DAERt△DCE

DE=DF

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23.(2008泰州市)在矩形ABCD中,AB=2,AD=

(1)在边CD一点E,使EB平分∠AEC,并加以说明;(3分)

(2)若PBC边上一点,且BP=2CP,连接EP并延长交AB的延长线于F

①求证:点B平分线段AF;(3分)

②△PAE能否由△PFBP点按顺时针方向旋转而得到,若能,加以证明,并求出旋转度数;若不能,请说明理由.(4分)

解:(1)当E为CD中点时,EB平分∠AEC

由∠D=900 ,DE=1,AD=,推得DEA=600

同理,∠CEB=600 ,从而∠AEB=∠CEB=600 ,即EB平分∠AEC

(2)① ∵CE∥BF

== ∴BF=2CE

∵AB=2CE,

∴点B平分线段AF

②能。

证明:∵CP=,CE=1,∠C=900

∴EP=

在Rt △ADE中,AE=  =2

∴AE=BF,

又∵PB=

∴PB=PE

∵∠AEP=∠BP=900

∴△PAS≌△PFB。

∴△PAE可以△PFB按照顺时针方向绕P点旋转而得到。

旋转度数为1200 

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20.(2008湖北襄樊)如图12,B、C、E是同一直线上的三个点,四边形ABCD与四边形CEFG是都是正方形.连接BG、DE.

(1)观察猜想BG与DE之间的大小关系,并证明你的结论.

(2)在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?若存在,请指出,并说出旋转过程;若不存在,请说明理由.

解:(1)BG=DE

 ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形,

∴GC=CE,BC=CD,∠BCG=∠DCE=90°)

∴△BCG≌△DCE

∴BG=DE

(2)存在. △BCG和△DCE

△BCG绕点C顺时针方向旋转90°与△DCE重合

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12.(2008年江苏省无锡市)如图,已知是矩形的边上一点,,试说明:

解法一:矩形中,

解法二:矩形中,

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11.(2008年山东省青岛市)已知:如图,在正方形ABCD中,G是CD上一点,延长BC到E,使CE=CG,连接BG并延长交DE于F.

(1)求证:△BCG≌△DCE;

(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′,判断四边形E′BGD是什么特殊四边形?并说明理由

解:(1)证明:∵四边形为正方形

∴BC=CD,∠BCG=∠DCE=90°

         ∵CG=CE,

∴△BCG≌△DCE

(2)答:四边形E′BGD是平行四边形

理由:

∵△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′

∴CE=AE′

∵CG=CE

∴CG=AE′

∵AB=CD,AB∥CD,

∴BE′=DG,BE′∥DG,

∴四边形E′BGD是平行四边形 

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15. (2008遵义)现有三个多项式:,请你选择其中两个进行加法运算,并把结果因式分解。

解:()+()=2-4=(+2)(-2)

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14.(2008徐州)已知

解:,将代入到上式,则可得

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