31.　　 (2009安顺)如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。

(1)　　　 求抛物线的解析式；

(2)　　　 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；

(3)　　　 △AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

30.　　 (2009江西)如图，抛物线与轴相交于、两点(点在点的左侧)，与轴相交于点，顶点为.

(1)直接写出、、三点的坐标和抛物线的对称轴；

(2)连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；

①用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？

②设的面积为，求与的函数关系式.

29.　　 (2009广州)如图13，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，-1)，ΔABC的面积为。

(1)求该二次函数的关系式；

(2)过y轴上的一点M(0，m)作y轴上午垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；

(3)在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

28.　　 (2009湖州)已知抛物线()与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.

(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则；

(2)如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；

(3)在抛物线()上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.

27.　　 (2009泰安)如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线

(1) 求点E的坐标；

(2) 求过 A、O、E三点的抛物线解析式；

(3)　　　 (2009遂宁)如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.

⑴求二次函数的解析式；

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；

⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

26.　　 (2009江苏)如图，已知二次函数的图象的顶点为．二次函数的图象与轴交于原点及另一点，它的顶点在函数的图象的对称轴上．

(1)求点与点的坐标；

(2)当四边形为菱形时，求函数的关系式．

25.　　 (2009莆田)已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。点B的坐标为(1，0),OC=30B．

　 (1)求抛物线的解析式；

　 (2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值：

　 (3)若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

24.　　 (2009成都)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为,与x轴的交点为N，且COS∠BCO＝。

　　 (2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；

　　 (3)过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?

23.　　 (12分)(2009南州)已知二次函数。

(1)求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。

(2)设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式。

(3)若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。

22.　　 (本题满分12分)

　 (2009泸州) 如图12，已知二次函数 的图象与x轴的正半轴相交于点A、B，

与y轴相交于点C，且．

　　 (1)求c的值；

　　 (2)若△ABC的面积为3，求该二次函数的解析式；　　

　　 (3)设D是(2)中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC上是否存在一点P使△PBD的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．