例3.m是什么整数时，能分解成两个连续自然数的积？

解：设(n为自然数)，则

原问题即m为何值时关于n的一元二次方程<1>有正整数解，所以应为某整数的平方，设为。则

化为

因为m是整数，故再次利用有整数解的条件，应有是某一整数的平方，也即为一完全平方数，又设为，于是，即或

因为

所以

又因是偶数，故与有相同的奇偶性，故<3>式只对划线部分有解。

①　　　　 ②

③　　　　　 ④

由①解得：，此时<2>式为：

或(舍去)

由②解得：，此时<2>式为：

或(舍去)

由③解得：，此时<2>式为：

或(舍去)

由④解得：，此时<2>式为：

或(舍去)

经检验，均为所求值，所以时，能分解成两个连续的自然数的积。事实上，对：

时，

时，

时，

时，

注意“△是一完全平方式”只是整系数一元二次方程有整数根的必要条件，倘若将它视为充要条件则会出现错误。

例4.(1998年全国初中数学竞赛试题)

已知方程(a是非负整数)至少有一个整数根，那么____________。

如若认为是完全平方式，从而原方程至少有一整数根，那就大错特错了。实际上由方程解出。故当或或时均不可能有整数解。

例2.若方程有整数根，且m、n为自然数，则m、n的值有__________个。

解：有整数根，则为一完全平方式，设为，于是

即

视<1>为m的一元二次方程，它应有整数解，由

可见

(1)令，则<1>式为

(2)若要有整数解，则

应为完全平方式。

令，则

因为

所以有如下两种情形。

无整数解，舍去。

代入<2>式得：

所以或(舍去)

将代入(*)式得：

所以满足条件。由对称性(方程系数是对称的)知也是所求。

(2)令，则<1>式为

<3>若有整数解，则应为某一完全平方式，故令，则

因为

所以又有两种情形。

代入<3>式得：或(舍去)

将代入(*)得：

所以为所求。

代入<3>式得：或(舍去)

将代入(*)式得：

，有整数解，故为所求。

由对称性知也为所求。

故符合题意的整数对m、n有(5，1)、(1，5)、(3，2)、(2，3)、(2，2)共5个。

例1.m为有理数，问k为何值时，方程的根为有理数？

解：原方程即：

如若有有理根，则应是某一有理数的平方，可知，从而。

本题也可这样解：

原方程化为

如有有理根，则

得

3、本节课设计的以问题为主线，培养学生有条理思考问题的习惯和归纳概括能力，并重视培养学生语言描述，然后进行引导交流形成规范语言。小结设置为学生谈自己的感受，培养学生语言表达能力、归纳知识的能力，以及欣赏数学的能力。

2、通过一道论证题的研讨，鼓励学生大胆尝试，同时鼓励其他同学进行互帮互助，交流自己解决问题的过程及成功的体验，给学生留下了充分的空间，不断激发学生的探索精神，培养了学生的动手操作、合作交流和逻辑推理能力，提高学生分析和解决问题的能力，使学生有成功体验。

数学教育的价值并非单纯地通过积累数学事实来实现，它更多地通过对重要的数学思想方法的领悟、对数学活动经验的条理化、对数学知识的自我组织等活动实现。学生的数学学习过程是一个自主构建的过程，他们会带着自己原有的知识背景、活动经验的理解走进学习活动，并通过自己的主动活动，包括独立思考、与他人交流和反思等，去建构对数学的理解。学生的数学学习的过程是一种再创造过程，在这一活动过程中，获得经验、对经验的分析与理解、对获得过程以及活动方式的反思至关重要。

1、在探索正方形判定方法的过程中，充分发挥了学生主体性，让学生经历自主“做数学”的过程--动手折纸、演示自制教具，并播放矩形、菱形、平行四边形的一个角、一组邻边的变化得到正方形课件，成功的达到了学生对正方形直观认识，进而探索出正方形的判定方法。

根据《课程标准》的评价理念，我在整个教学过程中，始终注重的是学生的参与意识，激励学生的学习热情，注重过程评价，发现问题与解决问题评价．

本节课的教学注意挖掘教材中培养创新意识的素材，通过学生动手折纸、演示自制教具，并利用计算机辅助教学，为学生营造一种创新的学习氛围。把学生引上探索问题之路，为学生构造一道亮丽的思维风景线，充分调动学生学习的主动性、积极性，体现学生的主体地位。同时，本课以问题为载体，探究为主线，有意识地留给学生适度的思维空间，从不同视角上展示不同层次学生的学力水平，使传授知识与培养能力融为一体，体现素质教育的精神。

(四)整理反思、评价体验

通过这节课的学习，我们有哪些收获？

引导学生从知识内容、数学思想方法两方面进行小结．

正方形的定义、判定方法和性质．

1、正方形与 矩形，菱形，平行四边形的关系．

2、正方形的性质:

正方形的性质与平行四边形、矩形、菱形的性质可比较如下：

(师生同完成，凡是图形所具有的性质，在表中相应的空格中填上“√”，没有的性质不要填写)

(三)应用迁移，巩固提高

Ⅰ、[问题] 如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O．

(1)一条对角线把它分成_______个全等的________ 三角形；

(2)两条对角线把它分成_______个全等的________三角形；

图中一共有________个等腰直角三角形；

(3)∠AOB＝_____度，∠OAB＝_____度．

(4)AB: AO: AC=________．

Ⅱ、例6、如图，点A＇、B＇、C＇、D＇分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA＇=BB＇=CC＇=DD＇．

求证：四边形A＇B＇C＇D＇是正方形．

Ⅲ、[论证]课本第77页练习3：

如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案,其中四边形ABCD和EFGH都是正方形．求证：△ABF≌△DAE．