56、证明：设方程2x2+5mx+3n=0的两根为2α、3α，则： 即

∴m2=n　　 ①

∵方程x2－2nx+8m=0的两根相等

∴Δ=4n2－32m=0

即　 n2－8m=0

①代入②，得：m4－8m=0

m(m2－8)=0

m(m－2)(m2+2m+4)=0

∴m=0或m－2=0或m2+2m+4=0(无实根)

∴m1=0,m2=2

∵mn≠0，∴m=0舍去，

当m=2时，n=4,α=1

对于方程mx2+(n+k－1)x+k+1=0

Δ=(n+k－1)2－4m(k+1)

　 =(k+3)2－8(k+1)

　 =k2－2k+1=(k－1)2

无论k为何值时，都有(k－1)2≥0

∴方程mx2+(n+k+1)x+k+1=0恒有实根。

55、28

54、2b2=a(b+c)

53、

∵Δ=(－(k+4))2－4(k－2)

　　 =k2+4k+24

　　 =(k+2)2+20

∵无论k为何值，都有(k+2)2≥0

∴(k+2)2+20>0，即Δ>0

因此方程x2－(k+n)x+(k－m)=0一定有实数根。

52、(1)证明：Δ=4m2－n2=(2m+n)(2m－n)

∵m、n分别是等腰三角形的腰和底边的长，∴2m+n>0；

又根据三角形三边的关系，有2m－n>0

∴Δ>0

因此方程 有两个不相等的实数根。

(2)16

51、证明：∵方程mx2－nx+2=0两根相等

∴m≠0且n2－8m=0　　 ①

由方程x2－4mx+3n=0的一根是另一根的3倍，故可设这两根为α、3α

则　　　　　　　　 ②

由①和②解得：m=2,n=4

因此，x2－(k+n)x+(k－m)=0即为

50、(1)6　 (2)m=－3;m=－2

49、 或m=－3

48、a=－1

47、m=4,n=－29