4．运用以上的知识解决实际问题．

3．画正多边形的方法．

2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边的边心距之间的等量关系．

　　 本节课应掌握：

1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边的边心距．

　　 例3．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．

　　 (1)求△ABC的边AB上的高h．

　　 (2)设DN=x，且，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？

(3)实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．

　　 分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．(3)的设计要有新意，应用圆的对称性就能圆满解决此题．

　　 解：(1)由AB·CG=AC·BC得h==4.8

　　 (2)∵h=且DN=x　 ∴NF=

　　 则S_{四边形DEFN}=x·(4.8-x)=-x²+10x

　　 =-(x²-x)=- [(x-)²-]=-(x-2.4)²+12

　　 ∵-(x-2.4)²≤0 ∴-(x-2.4)²+12≤12 且当x=2.4时，取等号

　　 ∴当x=2.4时，S_DEFN最大．

　　 (3)当S_DEFN最大时，x=2.4，此时，F为BC中点，在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3．

　　 ∴BE==1.8

　　 ∵BM=1.85，∴BM>EB，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案．

　　 ∵当x=2.4时，DE=5

∴AD=3.2，

由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示:

此时，AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树．

　　 教材P115　 练习1、2、3　 P116　 探究题、练习．

如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、D、E、F都在这个圆上．

　　 因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

　　 我们以圆内接正六边形为例证明．

　　 如图所示的圆，把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形．

　　 ∵AB=BC=CD=DE=EF

　　 ∴AB=BC=CD=DE=EF

　　 又∴∠A=BCF=(BC+CD+DE+EF)=2BC

　　 ∠B=CDA=(CD+DE+EF+FA)=2CD

　　 ∴∠A=∠B

　　 同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A

　　 又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上

　　 ∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆．

　　 为了今后学习和应用的方便，我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．

　　 外接圆的半径叫做正多边形的半径．

　　 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

　　 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

　 　例1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．

　　 分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．

　　 解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于=60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．

　　 因此，所求的正六边形的周长为6a

　　 在Rt△OAM中，OA=a，AM=AB=a　　 利用勾股定理，可得边心距

　　 OM==a

　　 ∴所求正六边形的面积=6××AB×OM=6××a×a=a²

　　 现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形．

　 　例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形．

　　 分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求边长为3的正五边形的半径．

解：正五边形的中心角∠AOB==72°，

如图，∠AOC=30°，OA=AB÷sin36°=1.5÷sin36°≈2.55(cm)

　　 画法(1)以O为圆心，OA=2.55cm为半径画圆；

　　 (2)在⊙O上顺次截取边长为3cm的AB、BC、CD、DE、EA．

　　 (3)分别连结AB、BC、CD、DE、EA．

　　 则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形，如图所示．

2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．

2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？

　 　老师点评：1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

　　 请同学们口答下面两个问题．

1．什么叫正多边形？