本节课应掌握:
1.n°的圆心角所对的弧长L=
例3.(1)操作与证明:如图所示,O是边长为a的正方形ABCD的中心,将一块半径足够长,圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处,并将纸板绕O点旋转,求证:正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.
(2)尝试与思考:如图a、b所示,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心点处,并将纸板绕O旋转,,当扇形纸板的圆心角为________时,正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a;当扇形纸板的圆心角为_______时,正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a.
(a) (b)
(3)探究与引申:一般地,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处,若将纸板绕O点旋转,当扇形纸板的圆心角为_______时,正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a,这时正n边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值,写出它与正n边形面积S之间的关系(不需证明);若不是定值,请说明理由.
解:(1)如图所示,不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N,连结OA、OD.
∵四边形ABCD是正方形
∴OA=OD,∠AOD=90°,∠MAO=∠NDO,
又∠MON=90°,∠AOM=∠DON
∴△AMO≌△DNO
∴AM=DN
∴AM+AN=DN+AN=AD=a
特别地,当点M与点A(点B)重合时,点N必与点D(点A)重合,此时AM+AN仍为定值a.
故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.
(2)120°;70°
(3);正n边形被纸板覆盖部分的面积是定值,这个定值是.
课本P122练习.
1.360 2.S扇形=R2 3.S扇形=R2 4.S扇形= 5.S扇形=
因此:在半径为R的圆中,圆心角n°的扇形
S扇形=
例2.如图,已知扇形AOB的半径为10,∠AOB=60°,求的长(结果精确到0.1)和扇形AOB的面积结果精确到0.1)
分析:要求弧长和扇形面积,只要有圆心角,半径的已知量便可求,本题已满足.
解:的长=×10=≈10.5
S扇形=×102=≈52.3
因此,的长为25.1cm,扇形AOB的面积为150.7cm2.
5.设圆半径为R,n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______.
老师检察学生练习情况并点评
4.设圆的半径为R,5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______.
……
3.设圆的半径为R,2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______.
2.设圆的半径为R,1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______.
1.该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积.
5.n°的圆心角所对的弧长是_______.
(老师点评)根据同学们的解题过程,我们可得到:
n°的圆心角所对的弧长为
例1制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,试计算如图所示的管道的展直长度,即的长(结果精确到0.1mm)
分析:要求的弧长,圆心角知,半径知,只要代入弧长公式即可.
解:R=40mm,n=110
∴的长==≈76.8(mm)
因此,管道的展直长度约为76.8mm.
问题:(学生分组讨论)在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长5m的绳子,绳子的另一端拴着一头牛,如图所示:
(1)这头牛吃草的最大活动区域有多大?
(2)如果这头牛只能绕柱子转过n°角,那么它的最大活动区域有多大?
学生提问后,老师点评:(1)这头牛吃草的最大活动区域是一个以A(柱子)为圆心,5m为半径的圆的面积.
(2)如果这头牛只能绕柱子转过n°角,那么它的最大活动区域应该是n°圆心角的两个半径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形,如图:
像这样,由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
(小黑板),请同学们结合圆心面积S=R2的公式,独立完成下题:
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