0  204669  204677  204683  204687  204693  204695  204699  204705  204707  204713  204719  204723  204725  204729  204735  204737  204743  204747  204749  204753  204755  204759  204761  204763  204764  204765  204767  204768  204769  204771  204773  204777  204779  204783  204785  204789  204795  204797  204803  204807  204809  204813  204819  204825  204827  204833  204837  204839  204845  204849  204855  204863  447090 

1.知识与能力:

复习巩固用函数y=ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c=0的解.

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26.2 用函数的观点看一元二次方程(2)

教学目标:

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2.若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴无交点,试说明,元二次方程ax2+bx+c=0和一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0的解的情况.

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问题1:某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的A处安装一个喷头向外喷水.连喷头在内,柱高为0.8m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,如图(1)所示.

       

根据设计图纸已知:如图(2)中所示直角坐标系中,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+2x+.

(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?

(2)如果不计其他的因素,那么水池至少为多少时,才能使喷出的水流都落在水池内?

问题2:画出函数y=x2-x-3/4的图象,根据图象回答下列问题.

(1)图象与x轴交点的坐标是什么;

(2)当x取何值时,y=0?这里x的取值与方程x2-x-=0有什么关系?

(3)你能从中得到什么启发?

对于问题(2),教师组织学生分组讨论、交流,各组选派代表发表意见,全班交流,达成共识:从“形”的方面看,函数y=x2-x-的图象与x轴交点的横坐标,即为方程x2-x-=0的解;从“数”的方面看,当二次函数y=x2-x-的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程x2-x-=0的解.更一般地,函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的解;当二次函数y=ax2+bx+c的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程ax2+bx+c=0的解,这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系.

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   在现实生活中,我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题,如拱桥跨度、拱高计算等,利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题,具有很现实的意义.本节课,请同学们共同研究,尝试解决以下几个问题.

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用函数观点看一元二次方程
抛物线y=ax2+bx+c与方程ax2+bx+c=0的解之间的关系
例题

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总结本节的知识点.

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例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1).

解:作y=x2-2x-2的图象(图26.2-3),它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7.

所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7,x2≈2.7.

播放课件:函数的图象与求解一元二次方程的解,前一个课件用来画图,可根据图像估计出方程x2-2x-2=0实数根的近似解,后一个课件可以准确的求出方程的解,体会其中的差异.

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一般地,从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知,

(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数的值是0,因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根.

(2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根.

由上面的结论,我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差,由图象求得的根,一般是近似的.

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二次函数(1)y=x2+x-2;

(2) y=x2-6x+9;

(3) y=x2-x+0.

的图象如图26.2-2所示.

(1)以上二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?

(2)当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?由此,你能得出相应的一元二次方程的根吗?

先画出以上二次函数的图象,由图像学生展开讨论,在老师的引导下回答以上的问题.

可播放课件:函数的图像,输入a,b,c的值,划出对应的函数的图像,观察图像,说出函数对应方程的解.

可以看出:

(1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点,它们的横坐标是-2,1.当x取公共点的横坐标时,函数的值是0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1.

(2)抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点,这点的横坐标是3.当x=3时,函数的值是0.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3.

(3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点, 由此可知,方程x2-x+1=0没有实数根.

总结:一般地,如果二次函数y=的图像与x轴相交,那么交点的横坐标就是一元二次方程=0的根.

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