投影片(§ 3．6 B)

两个同样大小的肥皂泡黏

在一起，其剖面如图所示

(点O，O′是圆心)，分隔

两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，

TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．

　　 分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP=O′P＝OO′，又TP、NP分别为两圆的切线，所以PT⊥OP，PN⊥O′P，即∠OPT＝∠O′PN=90°，所以∠TPN等于360°减去∠OPT+∠O′PN+∠OPO°即可．

　　 解：∵OP＝OO′＝PO′，

　　 ∴△ PO′O是一个等边三角形．

　　 ∴∠OPO′=60°．

　　 又∵TP与NP分别为两圆的切线，

　　 ∴∠TPO=∠NPO′=90°．

　 　∴∠TPN=360°-2× 90°-60°=120°．

　　 在一张透明纸上作一个⊙O．再在另一张透明纸上作一个与⊙O₁半径不等的⊙O₂．把两张透明纸叠在一起，固定⊙O₁，平移⊙O₂，⊙O₁与⊙O₂有几种位置关系?

　　 [师]请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流．

[生]我总结出共有五种位置关系，如下图：

　　 [师]大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点吗?从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑．

　　 [生]如图：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；

　　 (2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；

　　 (3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；

　　 (4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O₂上的点在⊙O₁的内部；

　　 (5)内含：两个圆没有公共点，⊙O₂上的点都在⊙O₁的内部．

　　 [师]总结得很出色，如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中有相同类型吗?

　　 [生]外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点，相交有两个公共点．

　　 [师]因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种．

　　 经过大家的讨论我们可知：

　　 投影片(§3．6 A)

(1)如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．

(2)如果只从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离

外离　　　　　 外切

，相切

内含　　　　　 内切

　　 [师]大家思考一下，在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢?

　　 [生]如自行车的两个车轮间的位置关系；车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系；用一只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等．

　　 [师]很好，现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多．下面我们就来讨沦这些位置关系分别是什么．

18．如图,一个图形由大小相等的五个圆⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃、⊙O₄和⊙O₅构成,其中⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃都与直线L相切,并且⊙O₁与⊙O₂,⊙O₂与⊙O₃,⊙O₃与⊙O₄, ⊙O₄与⊙O₅,⊙O₅与⊙O₂分别外切.请画一条直线,使得这条直线把图形的面积二等分.

17.如图,⊙O₁、⊙O₂交于A、B两点,点O₁在⊙O₂上,两圆的连心线交⊙O₁于E、D,交⊙O₂于F,交AB于C,请根据图中所给的已知条件(不再标注其他字母, 不再添加任何辅助线),写出两个线段之间的关系式.

16.试用10个圆设计一个使各圆都内切的图案.

15.某人用如下方法测一钢管的内径:将一小段钢管竖直放在平台上, 向内放入两个半径为5cm的钢球,测得上面一个钢球顶部高DC=16cm(钢管的轴截面如图所示), 求钢管的内直径AD的长.

14.若两圆的圆心距d满足等式│d-4│=3,且两圆的半径是方程x²-7x+12=0 的两个根,试判断这两圆的位置关系.

13.如图3,⊙O的半径为r,⊙O₁、⊙O₂的半径均为r₁,⊙O₁与⊙O内切,沿⊙O 内侧滚动m圈后回到原来的位置,⊙O₂与⊙O外切并沿⊙O外侧滚动n圈后回到原来的位置,则m、n的大小关系是(　 )

　 A.m>n　　　 B.m=n　　　 C.m<n　　 D.与r,r₁的值有关

12.半径为1cm和2cm的两个圆外切,那么与这两个圆都相切且半径为3cm 的圆的个数是(　 )　　 A.5个　　 B.4个　　 C.3个　　 D.2个