1.(2004年北京海淀)若∠A＝34°，则∠A的余角的度数为(　　 )．

　A．54°　　B．56°　　C．146°　　 D．66°

3.一个角的补角和余角的大小关系是(　　 )

A　 余角比补角大　　 B 余角等于补角　　 C　 余角比补角小　 D不能确定

n　　　　 学法指导

引领激活　

⊥垂直号

　建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线，来检查所砌的墙面是否和水平面垂直，如图1．这条带铅锤的线叫做铅垂线．测量时这条线在空中自由摆动画出了圆弧，当它静止下来时，铅垂线和地面成直角．当铅垂线与墙壁面平行时，自然墙面和水平面就垂直了．

　在平面几何中，把相交成直角的两条直线叫做两条直线互相垂直．“垂直”用“⊥”表示，读作“垂直于”．在图2中，直线AB和CD垂直时，记作：AB⊥CD．

范例点评　

[例1]　 如图,直线AB与CD相交于O,OE⊥CD, ∠DOF=65⁰,求∠BOE和∠AOC的度数.

分析　 由已知条件和图形可知: ∠BOE与∠BOD互作, ∠AOC与∠BOD是对顶角,可先求出∠BOD,则∠BOE, ∠AOC立即可求.

解　 ∵OF⊥AB　 (已知)

∴∠BOF=90⁰,(垂直定义)

又∵∠DOF=65⁰,

∴∠BOD=90⁰-65⁰=25⁰

∴∠AOC=∠BOD=25⁰(对顶角相等)

∵OE⊥CD

∴∠DOE=90⁰　 (垂直定义)

∴∠BOE=90⁰-25⁰=65⁰.

评注　 垂线概念是本节重点,若两条直线垂直,那么它们相交所成的四个角都是90⁰,根据问题需要选用一个即可.

[例2] 　如图 ,已知AOB为一条直线,OC为任一条射线,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,试判断OD和OE的位置关系,并加以说明.

分析观察图形可猜测OD⊥OE,根据垂直定义,只需说明OE,OD的夹角为90⁰即可.

解 ∵OD平分∠BOC,

∴∠COD=∠BOC.

同理可得: ∠COE=∠AOC.

又∵∠AOC+∠BOD=180⁰(平角定义)

∴∠EOD=∠COE+∠COD=∠AOC+∠BOC=90⁰

∴OE⊥OD　 (垂直定义)

评注本题解题过程中的”同理”是在条件相同,推理过程相同的情况下,常用它来缩短书写过程.另外,垂直定义既可作性质用,又可作判定用.几何定义一般都有这两个方面的作用,希同学们细细品味.

[例3] 在给出的下图上,完成下列作图:

⑴作出点A到BC的垂线段AD,并量出点A到直线BC的距离;

⑵过点B作AC的垂线,垂足为E,过点C作AB的垂线,垂足为F;

⑶延长DA,你能发现什么有趣的结论?

解 ⑴⑵的作图如图

⑶DA,BF,CE交于同一点.

评注 过已知一点画直线的垂线,可借助直角三角板来完成,其要领是“一贴”即直角三角板的一直角板贴在已知直线上,“二靠”即三角板的另一直角边经过已知点,“三画线”即过已知点的直角边画垂线

画一条线段或射线的垂线,就是画这条线段或射线所在直线的垂线,垂足可能在线段或射线的延长线上.

点A到BC的垂线段是线段AD,而点到直线BC的距离是指垂线段AD的长度,应注意区别.

[例4] 如图在长方体中,棱AB与哪些面垂直?哪些棱与面A’B’C’D’垂直,面A’ABB’与哪些面垂直?哪些面与面A’D’DA垂直?

分析 此题考查线面垂直,面面垂直的概念,紧紧抓住概念的意义,结合图形来回答.

解 棱AB与面BCC`B`,面ADD`A`垂直;棱AA`,CC`,DD`与面A`B`C`D`垂直;面A`ABB`与面ABCD,面A`B`C`D`,面AA`D`D,面BB`C`C垂直;面A`B`C`D`,面A`ABB`,面ABCD,面CDD`C`与面A`D`DA垂直.

评注在长方体中,棱与面,面与面之间存在如下关系:与每个面垂直的棱有四条;与与每条棱垂直的面共有两个;与每个面垂直的面共有四个.

n　　　　 师生互动

课堂交流

如图,在三角形ABC中,∠C=90⁰,三角板的哪条边最长,为什么?

提示　 判断AC,BC,AB的大小,可借助于”垂线段最短”这一性质来确定.

误区警示

两直线相交与两直线垂直不是两种并列的位置关系,其中两直线垂直属于两直线相交关系,是两直线相交的一种特殊情况;

弄清“两直线垂直”与“垂线”的区别和联系.“互相垂直”是两条直线的位置关系.“垂线”是互相垂中的一条直线对另一直线的称呼.

注意区别“垂线段”和“点到直线的距离”这两个概念.“垂线段”是一个几何图形而“点到直线的距离”是点到直线垂线段的长,是一个数量,不能混淆.

n　　　　 检测评估

2. 把一副三角板如图叠合在一起，则∠AOB=　　度．

1.(2004年.江苏徐州)已知∠α=63⁰，那么它的余角等于_______度．

2．学会自主探索图形之间的相互关系和变化规律．

温故知新　

1．在观察两条直线位置关系的变化过程中，体验图形的美.

3．了解点到直线的距离的意义.

过程性目标

2．会经过一点画出和已知直线垂直的直线，会画出三角形的高.

1．理解两条直线互相垂直的意义.

5．1．2　　 垂 线

n　　　　 课前准备

学习目标　

知识技能目标