7.3.2　 《多边形的内角和》教案

教 学 任 务 分 析

教 学 流 程 安 排

教 学 过 程 设 计

问 题 与 情 况	师 生 行 为	设 计 意 图
活动1 问题：你知道三角形的内角和是多少度吗？ 　　　　　　　　　 A 　 　 　 　 B　　　　　　　　　　 C 三角形的内角和等于180° 课题：多边形的内角和与外角和	1、教师提问，学生思考作答。 2、教师总结：三角形的内角和等于180°。 3、引出课题：您想知道任意一个多边形的内角和吗？今天我们就来进一步探讨多边形的内角和与外角和。	回顾已学知识：三角形的内角和等于180°，为后继问题的解决作铺垫。 利用学生的好奇心设疑，激发学生的求知欲望，使他们能自觉地参与到下面多边形内角和探索的活动中去。
活动2 问题：你知道任意一个四边形的内角和是多少吗？ 学生展示探究成果 　 　　　　　 A 　　　　　　　　　　　 D 　 　 　 B　　　　　　　　　　 C 　 分成2个三角形 180°×2=360° 　 　　　　　 D 　　　　 A O 　 　　 B　　　　　　　　　 C 分割成4个三角形 180°×4-360°=360° 　　　　 A 　　　　　　 D 　 　 　 　　 B　　　　 P　　　　　 C 分割成3个三角形 180°×3-180°=360°	1、引导学生猜想：四边形的内角和等于360°。 2、学生分小组交流与探究，进一步来论证自己的猜想。 3、由各小组成员汇报探索的思路与方法，讲明理由。 4、教师汇总学生所探索出的不同方法，除测量与拼凑法外，并提出疑问：你们添加辅助线的目的是什么？说一说你的想法。 5、教师在学生回答的基础上小结：借助辅助线把四边形分割成几个三角形，利用三角形内角和求得四边形内角和。	教师可点拨学生从正方形、长方形这两个特殊的多边形的内角和，进而猜测出四边形的内角和等于360°。 “解放学生的手，解放学生的大脑”，鼓励学生积极参与，合作交流，用自己的语言表达解决问题的方式方法，发展学生的语言表达能力与推理能力。 鼓励学生寻找多种分割形式，深入领会转化的本质--将四边形转化为三角形问题来解决。
活动3 问题1：你知道五边形的内角和是多少度吗？ 　　　　　　 A　　　　 E 　　 B 　 　　　　　　　　　　　 D 　 　　　　　 C 　　　　　　 A　　　　 E 　 　　　　　　　 O 　　　　 B　　　　　　　 D 　 　　　　　　　　 C 　　　　　 A　　　　 E 　　 B 　　　　　　　　　　　 D 　　　　　　　　 P 　　　　　 C 问题2：你知道n边形的内角和吗？ (n-2)·180° 180°n-360° 180°(n-1)-180° 板书： 多边形内角和公式：(n-2)·180° 例：求15边形内角和的度数	1、教师提出问题，学生思考后分组活动。 2、教师深入小组，参与小组活动，及时了解学生探索的情况。 3、让学生归纳借助辅助线将五边形分割成三角形的不同分法。 4、探究五边形的边数与所分割的三角形个数间的关系，进而得出五边形内角和与边数的关系。 5、根据以上分割三角形的方法，引导学生归纳n边形内角和公式及不同公式间的联系，指明为了书写整齐，便于记忆，我们选择(n-2)·180°这个公式。 6、通过计算让学生巩固并掌握n边形内角和公式。	通过增加图形的复杂性，让学生再一次经历转化的过程，加深对转化思想方法的理解，在探索过程中进一步体现新课标“以人为本”的思想，再一次发展学生的平理能力和语言表达能力。 通过四边形、五边形特殊，多边形内角和的探索，让学生从特殊到一般归纳总结出多边形内角和公式，体会数形间的联系，感受从特殊到一般的数学推理过程和数学思考方法。
活动4 问题1：小明家有一张六边形的地毯，小明绕各顶点走了一圈，回到起点A，他的身体旋转了多少度？ 例：六边形外角和等于多少度？ 　 　 　　　　 E　　　　 4 D 　　　 5　 　 F　　　 　　　　　　　3 C 　　 6　　　　　 　　　　　　　　　　 　2 　　　 A　 1　　　　 B 问题2：n边形外角和等于多少度？ n边形外角和等于360°	1、学生思考作答，教师作适当点拨。通过课件演示，由学生发现：六边形的外角和等于360°。 2、教师引导学生利用多边形的内角和公式，进一步论证六边形外角和等于360°。即：六个平角减去六边形内角和等于六边形外角和360° 3、进行类比推理并小结：n边形外角和等于n个平角减去n边形内角和，与边数无关。 180°n-(n-2)·180°=360°	经历现实情况引出六边形的外角和等于360°，从学生已有的生活经验出发，更能激发学生的学习兴趣。 通过类比和扩展方法的使用，使学生掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法。
活动5 问题：你能运用多边形内角和与外角和公式解决问题吗？ (1)教科书P88 例1 (2)求下列图中x值 　　　　 　　　　 150 °2x° 120 ° 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　x° 　 　　　　　　 　80 ° 　　　　 120 ° 　　　 　　　 75 °　　　　　　　　 x° 　 (3)一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？ 探究题：小明有一个设想:2008年奥运会在北京召开，他设计一个内角和是2008°的多边形图案多有意义，小明的想法能实现吗？	1、学生利用当堂所学的知识通过小组合作解决问题，巩固本节知识。 2、教师从学生的回答中，了解学生有条理表达自己的思考过程。 3、引导学生利用多边形的内角和公式解释小明的设想能否实现，进一步让学生感受到数学的趣味性，以及与实际生活间的密切联系。	学生自主探索巩固知识和获得技能，掌握基本的数学思想。 教师及时了解学生的学习效果，让学生经历用知识解决问题的过程。 同时激发学生的学习和积极性，建立学好数学的自信心。学生巩固、发展、提高。
活动6 问题：谈谈本节课你有哪些收获？ 　 作业：课本P90.2　 P90.6	1、学生反思学习和解决问题的过程。 2、鼓励学生大胆表达，并对学生的进步给予肯定，树立学生学好数学的自信心。	通过回顾和反思，让学生看到自己的进步，激励学生，使学生自己在今后的学习中会不断进步，提高学生的学习热情。

(三)课堂小结

本堂课用提问题的方式进行小结，并且强调研究问题的一般思维方法等，都是十分可取的。这样既可以培养学生的整理思维习惯与能力，又能帮助学生总结解题规律，使学生加深对数学化归思想方法的认识。

本堂课不足之处主要是因材施教分类指导方面有待于进一步加强，在各个教学环节中差生没有得到应有的重视，特别在练习过程中要特别注意加强对差生的指导

(二)导学达标过程

1、对于多边形定义及有关概念，这不是本堂课的重点内容，而且学生对四边形、五边形、n边形的形状并不陌生，因而教师采用让学生类比三角形的知识学习，方法是可取的。之后又让学生自己概括并叙述它们的定义，这可培养学生的概括能力和文字表达能力。

2、对于四边形内角和是，这是本堂课的重点。课堂教学紧紧围绕结论的发现、解释说明、应用三个阶段展开，从学生的认知特点和教材特点出发分别采取不同方法。

(l)结论的发现

考虑到学生已学习了三角形内角和定理，而且知道长方形、正方形的每一个角都是，所以教师对结论的发现采取猜想的方法。教师直接提出问题：“四边形的内角和是多少度”？学生很容易猜想得出的结论，这个问题虽然不难回答，但可以培养学生探究问题的意识和学习习惯。

(2)探求结论的推导思路

在此之前，学生已经积累了不少说明几何问题的事实、方法和经验，为了帮助学生迅速找到新旧知识的结合点，教师提出问题：“处理复杂问题普遍实用的方法，就是把未知转化为已知，用已有知识研究新问题。所以，研究四边形的问题可转化为已学过　？　 知识去解决。”这可引起学生的联想，有利于学生梳理知识，培养学生的发散思维能力。接下去教师继续提问：“怎样转化？转化的关键？”教师没做更多的引导，只是提出问题。这样，教师不仅为解决问题创造了一个好的情境，而且指导学生通过自己的努力按既定方向将已有知识、经验和方法进行重组从而解决了问题。从课堂教学实际效果看，这个引导是符合多数学生的认知基础的，既没有超越学生的认知能力，又能促进学生积极探索。

在探求结论的推导过程中，集中体现了数学化归思想的应用。在这里，教师有意识地做了强化，这可以使学生更加深刻地体会到这种思想方法对解决问题的作用。另外，教师还指出了最优化思想。

(3)结论的应用

结论的应用是通过例题教学和指导学生做练习实现的。在这个过程中，教师没有做过多的指导，只是做了适当、及时、必要的点拨和提示。这样做应该说是体现了“导而弗牵，开而弗达”的要求的。

(一)本堂课确定的主要教学目标是恰当的。

比如对多边形的有关概念不作过高要求，只要求能够在图形中识别，但对四边形内角和是要求较高，除了会解释说明外还要会进行应用。另外还特别强调研究四边形的问题时常通过作辅助线的方法转化为三角形知识解决，并以此为载体强化数学化归的思想方法。

(六)归纳小结(教师引导学生从以下几个方面进行小结)

1、研究问题的一般思维方法：

观察、分析、猜想、类比、解释、说明、应用。

2、研究几何概念及性质的一般思维方向：

定义、定义的内涵和外延。

就四边形而言有：边、角、对角线、内角和(教师提示：以及后面学习的外角和)。

3、四边形内角和是的得出及应用中所用到的思想方法。

四边形问题转化构造成三角形问题解决。

4、感悟数学中普遍存在的相互联系、相互转化、相互制约的辩证关系；以及数学来源于实践，又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点。

点评　 课堂小结是课堂教学的重要环节，教师再次给学生提供展示自己的机会，充分体现以学生的发展为本的素质教育观念。

总评：

本文着重谈“多边形的内角和”一堂课的教材处理和教学法运用意见。

课堂教学是教师、学生和教学媒体(教学内容和教学器具等)之间在教学目标指导下所发生的动态变化的过程，其中教材处理和教法运用体现着教师、学生和教学媒体三者之间的相互作用，是影响课堂教学这一动态变化过程效率的主要变量。另外，教材处理和教法运用是教师主导作用的集中表现，而教师主导作用发挥的方向、方式和力度决定着学生的主体地位能否得到保障，主体作用能否得到较好的发挥。因而课堂教学评价应当把教材处理和教学法运用作为主要内容。

“多边形的内角和”一堂课的教材处理和教学法的运用有许多优点：

(五)引申思考

师：在得到四边形内角和是的基础上，你能探求五边形、六边形和一般n边形的内角和是多少度吗？请同学们思考研究。

师生共同回答：n边形的内角和为：

师：看谁回答的最快。

(l)六边形的内角和是　　　　 ；12边形的内角和是　　　　　。　　　

(2)　　　　 边形的内角和是 ；一个多边形的内角和是 ，则这个多边形的边数是　　　　。

(3)正六边形的一个内角是　　　　 。

(四)变式训练

师：请同学们看下面的题目。

已知：如图10，直线 ，垂足为B，直线 ，垂足为C，问 与 之间会有怎样的关系？对你的结论请给予说明。

生思考──交流──说明问题的答案──互评。

师：请同学们继续思考，图中有与相等的角吗？若有请指出，并给出说明；若没有请说明理由。

学生继续交流、探讨。

师追问：我们将此题目增加条件，又构成了一道新的探索型问题。请同学们继续思考解答。

已知：如图11，在四边形ABOC中， ，AE平分，OF平分 ，请问AE与OF平行吗？为什么？

学生交流、探讨。

点评 这是一组系列探索题。这个题目知识覆盖面大，综合性强，题意构思精巧。这迫使学生要用“动”的观点去分析已知条件和面临结论之间的关系，在矛盾冲突中建立新的知识结构。在这个过程中，不同层次的学生都得到不同程度的发展与提高，学生的思维又上了一个新层次。

(三)合作释疑

1、学生猜想四边形内角和是

师质疑：三角形的内角和是(出示教师用的教具──三角板)，四边形的内角和是多少度？

生思考

师提示：长方形的每个内角都是多少度？正方形的每个内角呢？看看我们的书、本、桌面。

师：请同学们猜想一般四边形内角和的度数。

生答：四边形内角和是.(教师板书)

师肯定：同学们回答的非常好！我们小学学过的长方形的内角和是，正方形的内角和也是，由此我们猜测一般四边形内角和也是。

师指出：这个结论是否正确呢？我们要从理论上加以验证。

点评 以小学学过长方形、正方形的每个内角都是为依托，猜想一般四边形内角和的度数。向学生渗透由具体到抽象、由特殊到一般的数学思想方法。

2、探索研究解释的方法，并交流不同方法

师质疑：怎样说明四边形内角和是呢？

师指出：处理复杂问题普遍实用的方法，就是把未知转化为已知，用已有知识研究新问题。所以，研究四边形的问题可转化为已学过的知识去解决。

生答：三角形。

师：对！同学们回答的非常好！把四边形问题转化为三角形知识解决。

师追问：转化的关键？

生答：作辅助线。

点评 研究四边形的问题可转化为三角形知识去解决，向学生渗透“化归”的数学思想方法。

师：请同学们考虑说明的方法。

生独立思考──生生交流讨论(教师个别辅导)──生再独立思考。

师：请同学们说说各自的思路。

众生：如图4，连接AC……如图5，在BC边上任取一点P(也可在AB或CD或AD边上任取一点P)，连接AP，DP……如图6，在四边形ABCD内任取一点O，连接AO，BO，CO，DO……如图7，在四边形ABCD外任取一点P，连接AP，BP，CP，DP……如图8，过D点作AB平行DP，交BC于P点……

师：同学们的思路都非常的好！你想到的是哪一种方法呢？

生：比较而言，应该说连接AC时说明的过程最好。

点评 四边形内角和这一结论的解释说明是本节课的一个重点，添加辅助线是关键。本环节的学习中，探索了多种的说明方法，活跃了学生的思维。在教学过程中，应鼓励学生通过独立思考，不拘一格，创造性地解决问题，使学习数学成为再发现和再创造的过程。

3、归纳概括所得结论

师指出：经过分析，同学们猜想得到的结论“四边形的内角和等于”是正确的。这是这节课我们学习的一个重点内容──四边形的内角和等于.

师强调：同学们要熟记这个内容，并能运用它解决有关的问题。

师指出：同学们还要体会得到“四边形内角和是”的方法。即通过作辅助线将四边形问题转化为三角形知识解决。这种解决问题的方法在今后的解题中经常会用到。

师继续指出：从分析思路看，同学们得到了多种方法，各种方法都非常好。那么，当一个题目有多种方法时，特别是几何问题，往往都有多种方法，通常我们选择最简单的方法。

点评 (1)从特殊四边形(长方形、矩形)中观察、分析、猜测、验证获取新知(内角和是)。(2)从已有知识结构中讨论分析归纳获得新的创新。引导学生进人一种研究状态，获得的新知对学生来说，就是一种创新。

4、巩固性应用

师：请同学们解答下面的判断题

(1)四边形的各内角可以都是锐角。(　　 )

变式1：将“锐角”改为“直角”。

变式2：将“锐角”改为“钝角”。

生口答：(l)错误。变式1正确。变式2错误。

(2)在一个四边形中，如果有两个角都是直角，那么其余的两个角的关系一定是互为补角。(　 )

生口答：正确。

(3)如图9，四边形ABCD中， 的大小不能确定。(　　 )

生口答：错误。的大小能确定。

变式：此题中的大小若能确定，试求的度数；若不能确定，请说明理由。

生口答：

对于学生的回答教师及时给予肯定表扬。

点评 设计此组练习的目的一是使学生进一步理解四边形的内角和是的内涵和外延。二是教师可了解学生学习情况，以便及时的调整和改进教学。

(二)自主探究

1、四边形及多边形的定义

师：请同学们回忆三角形的定义。

生思考后答：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

师：请同学们类比三角形的定义尝试总结四边形的定义。

生独立思考，互相交流。

生答：……

学生回答不完整、不准确，同学之间可以给予提示，老师给予补充、指正。教师板书定义、图形。

师强调：在平面内，由不在同一条直线的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。

师质疑：在定义中，为什么要有“在平面内”这一条件呢？

学生思考，教师出示自制的空间四边形模型。

师：请同学们看老师这里的这个模型(空间四边形模型)。这个图形有几条边围成的？

生答：4条。

师追问：对！这4条边在同一平面内吗？

生答：不在。

师指出：这是一个空间四边形，即立体图形，立体几何我们将到高中系统学习。我们初中所说的四边形都是平面图形。所以，在四边形的定义中，“在平面内”这一条件必备。

师质疑：同学们能给出五边形的定义吗？n边形(多边形)呢？

师指出：如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形。如正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形等等。

点评 借助于自制的直观教具，说明四边形定义中“在平面内”这一不可省略的条件，易于学生理解，化解了本课时的难点。

2、四边形及多边形的有关概念

师质疑：我们知道三角形有三条边、三个角。那么四边形、五边形的有关概念有哪些？

生答：也有边、角。

师在黑板上四边形的图形中标出边、角。

师指出：如图的四边形用表示它的各个顶点的字母来表示，可以按照顶点的顺序，记作“四边形ABCD".

点评 对于边、角这些能在图形中识别，而不要求学生掌握的描述性定义，采取学生类比的边、角表示方法来归纳，渗透类比的数学思想方法。

师：对角线的概念学生从字面即可理解。如图，连接线段AC,线段AC是四边形ABCD的对角线。即在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。

师：如下表(多媒体展示)，请同学们口答。

生口答上面表中的空格内容。

师：同学们回答的非常好！

师指出：如图1的四边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。图2的四边形不是凸四边形。今后所说的四边形都是指凸四边形。

3、巩固性应用

师：请同学们口答下面的选择题。

(l)四边形的定义正确的是(　 　)。

A、由四条线段首尾顺次相接组成的图形

B、在平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的图形

C、平面内，四个点所确定的图形

D、在平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形

(2)下列命题中正确的是(　　　 )。

A、五边形中有两条对角线

B、如图3的四边形可以记作四边形ACBD

C、n边形有n条边、n个角

D、只有长方形和正方形是四边形

点评 此处设计一组口答练习题，可以及时巩固四边形的定义和有关的概念。

(一)创设情境

出示章头气象观测站平面图(多媒体展示)。

师：在小学里，我们学过三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形。在图中，同学们能找出来吗？

学生观察图形，然后互相交流。

生答：能。

师指出：长方形、正方形、平行四边形、梯形都是四边形。而且都是特殊的四边形。

师导语：前面我们系统学习研究了三角形的有关知识。四边形是怎样定义的？有哪些性质？在工农业生产及日常生活中有着哪些应用？本节课首先学习多边形的内角和。

点评 利用现代化的教学手段“创设问题情境”可以有效地激发学生的好奇心和求知欲，使学生很快进人角色。