6.如图7-3-2，已知四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，

∠5=∠6，∠7=∠8，则∠E+∠F=　　　 .

5.一个多边形有14条对角线，则这个多边形是　　　 .

4.正八边形的外角和是，每个内角是　　　 .

3.过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，

则(m-k)ⁿ　　　 .

2.多边形的边数增加一条时，其外角和　　　 ，内角和增加　　　 .

1.一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是　　　 边形.

7.3　 多边形及其内角和

在我们的周围，除了有较为常见的三角形外，还有许多有四条、五条、……不在同一条直线上的线段首位顺次连接组成的平面图形，他们和三角形统称为多边形.你想知道有关多边形的知识吗？一起学习吧！

[例1]一个多边形出一个内角外，其余个内角的和为2030⁰，求这个多边形的边数.

[点拨]本题在利用多边形的内角和计算公式得到方程后，又借助数的整除，通过讨论得这个内角的度数，这是解决有关多边形的内角和与外角和问题的一种常用的方法.

[答案]设边数为n，这个内角为x，则0⁰<x<180⁰

根据题意，得(n-2)×180⁰=x+2030⁰　 ∵(n-2)×180⁰是180⁰的倍数　 ∴x+2030⁰必是180⁰的倍数

∵2030⁰÷180⁰=11…50　　 ∴x=180⁰-50⁰=130⁰　 ∴(n-2)×180⁰=180⁰×11+180⁰

∴n-2=12　　 ∴n=14

答：这个多边形的边数为14.

[例2]已知∠ABC的边BA、BC分别于∠DEF的边ED、EF垂直，

垂足分别是M、N,且∠ABC=70⁰,求∠DEF的度数.

[点拨]本题已知了∠ABC、∠DEF角和边的关系，没有给出图形，

可先画出图形，再结合图形，利用相关知识求解.根据题意，

符合条件的图形刻画出两个，要考虑周全，不能漏解，两个图形

分别如图7-3-1(1)，图7-3-1(2)

在图7-3-1(1)中，求∠DEF,利用四边形内角和定理即可

在图7-3-1(2)中，求∠DEF,利用三角形内角和等于180⁰，

利用两个三角形中交的关系进行求解.

[答案](1) 如图7-3-1(1)∵DE⊥AB　 ∴∠BME=90⁰　

∵EF⊥BC　 ∴∠BNE=90⁰　　 ∵∠B+∠BME+∠BNE+∠DEF=360⁰ 　

又∵∠B=70⁰　　 ∴∠DEF=110⁰

(2) 如图7-3-1(2)∵DE⊥AB　 ∴∠BME=90⁰　

∵EF⊥BC　 ∴∠BNE=90⁰　 ∴∠BME=∠BNE　 ∵∠DEF+∠BME+∠EOM=180⁰

∴∠B+∠BME+∠EOM=180⁰

∴∠DEF+∠BME+∠EOM=∠B+∠BME+∠EOM

∴∠DEF+∠EOM=∠B+∠EOM

∵∠EOM=∠BON　 ∴∠DEF=∠B

∵∠B=70⁰　 ∴∠DEF=70⁰

答：∠DEF=70⁰或110⁰

3、情感与态度目标：学生通过积极参与、分析讨论，感受学习数学的快乐，体会数学之美，本节课引导学生多体会数学的内在和谐美。激发学生的学习数学的兴趣。

多边形的外角和为360°的探索、深入理解与应用。

对多边形的外角和为360°的深入理解与应用。

内容

方法

(人教版)第七章：三角形 7.3 多边形的内角和(之外角和部分)

启发与讨论。

复习提问

①n边形的内角和是多少？

生：(n－2)·180°。

②什么叫三角形的外角？

生：三角形的一边和这个顶点的另一边的延长线所组成的图形叫做三角形的外角。

③一个三角形有多少个外角？理由。

生：有6个，每个顶点处有两个外角，共6个。(师：每个顶点处的两个外角是相等的)。

④什么叫三角形的外角和？

生：每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和。

新课过程

(人教新课标七下，以后同)在P83页中已有题：如图，∠BAE，∠FBC，∠ACD是三角形的外角，你能利用三角形的内角和求出三角形的外角和吗？

师：谁来说一说如何证明？

生：利用∠CAE，∠ABF，∠BCD是平角，∠CAE+∠ABF+∠BCD＝540°，又因为∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°(三角形的内角和为180°)，∴∠EAB+∠FBC+∠ACD＝360°。

师：这个证法很好，我们还可以利用三角形的一个外角等于和不它不相邻的两个内角之和，同学们下来还可以去想想，现在请大家用语言来总结这个结论。

生：三角形的外角和为360°。

师：刚才我们定义了三角形的外角和，你能定义多边形的外角和吗？

生：在多边形的每一个顶点处取一个外角，它们之和就叫做多边形的外角和。

师：同学们有当数学家的天赋，我们的数学家也是这样定义的。现在我们要探究多边形的外角和，先看简单的，求一个四边形的外角和，如图所示，应如何进行？

生：四边形的每一个顶点处的一个外角加上相邻的内角为180°，有四个顶点，总和为4×180°＝720°，又因为四边形的内角和为(4－2)×180°＝360°，所以外角和为720°－360°＝360°。

师：完全正确，同学们根据刚才的证明三角形的外角和的思路来证明四边形的外角和，很不错的。有何结论？

生：四边形的外角和为360°。

师：现在请同学们看书：P88(内容如下)

师：有何结论？

生：六边形外角和为360°。

师：根据我们刚才的三个结论？你有何猜想？

生：多边形的外角和为360°。

师：这个想法很好的，也就是不管其边数为多少(n≥3)，其外角和为360°，是不变的。要证明了才能把猜想变成真理，请思考如何证明？

设边数为n(n≥3)。

请大家动笔在草稿本上算算。(给学生几分钟思考的时间)

生：n边形有n个顶点，每个顶点处的一个外角与其相邻的内角之和为180°，有n个180°，这些角的总和为：180°n，n边形的内角和为(n－2)?180°，所以n边形的外角和为：180°n－(n－2)·180°＝360°。

师：很好的，现在我们证明了我们的猜想。得到结论，谁来总结一下？

生：定理：n(n≥3)边形的外角和为360°。

师：这个定理很美，不管其边数怎样变化，其外角和是不变的。这是我们通过计算得来的，应该还能通过其它的角度让我们认识得更清楚一点，如图所示，通过作这样的辅助线您能证明吗？

把AB平移到CG的位置。

(学生思考几分钟)

生：∵CG是由AB平移得来的，

∴AB∥CG

∴∠EAB＝∠ACG。

∠DCG＝∠DBF

∴∠DCA+∠EAB+∠FBD＝∠DCA+∠ACG+∠GCD＝360°

师：很好，可以这样想的，把三角形缩成一个点，其外角刚好围成一个圆，当然是360°了。

再看一看四边形，也能这样吗？

师：过C作CK∥DE，CM∥AF，看其中的相同颜色的弧所在的角……

生：有∠HDA＝∠DCK，∠EAL＝∠KLB＝∠KCM，∠FBG＝∠GCM。

把这些外角移在一起，刚好围成一个圆。

师：回答正确，也可以这样理解，把四边形缩成一个点，其外角和刚好围成一个圆，当然外角和不变了。

师：更多的边数呢？

生(兴奋的)：一样的，先把多边形缩成一个点，其外角和刚好围成一个圆，当然是360°，不管其边数怎样变化，其外角和不变。

师：是这样的，还可以这样理解，一个人面向CD，沿着CA前进时，方向改变为∠DCA，沿AB前进，其方向改变为∠EAB，也就是∠ACG的大小，再AB方转向CD时，方向改变量的大小是∠DCG，此时回到CD方向，刚好转了一圈，是360°。四边形也可以这样理解吗？

生：假设面向CG，面向CH，转动∠HCG，面向DE再转∠HCK，面向AB，再转∠KCM，最后转∠MCG回到出发的位置。刚好转了一圈，因此是外角和是360°。

师：再换种理解方法，假设一人从A出发，经过各个顶点。然后回到出发的A点，这个人所转过的角的和恰好是一这个多边形的外角和。由于刚好转了一圈回到出发点，因此其外角和是360°。请大家看书，P89页内容。如下：

……

(下课铃打响了)

师：请大家回家思考一下，多边形的内角中最多有几个锐角，下节课我们一起探讨？

2、过程与方法目标：通过对多边形的外角和的分析，并用四种角度来理解与体会多边形的外角和恒为360°的道理，层层推进，梯次展开，把学生带进思维的王国，并通过对一些问题的分析，体会利用多边形的外角和解决问题所带来的方便。

1、知识与技能目标：理解与掌握多边形的外角和为360°的定理。并能用它来解决一些简单的问题。