6.若凸多边形的n个内角与某一个外角之和是1125°,求n.
5.一个17边形除了一个内角之外,其余各内角之和为2570°,求这一个角.
4.若一个多边形的内角都相等,它的一个内角与它相邻的外角的差为100°,求这个多边形的边数.
3.若一个多边形的每个内角都等于120°,则它是几边形?
2.若一个多边形的每个外角都等于20°,则它是几边形?
1.若一个多边形的内角和是外角和的5倍,则它是几边形?有几条对角线?
2.由已知角度求n边形边数的方法.
[讲一讲]
几何:
例1 求证:6边形的内角和为720°
分析:可以将6边形分割成几个三角形,求出三角形的内角和
证明:连AC、AD、AE
∵ △ABC,△ADE,△ACD与△AEF的内角和均为180°
∴ 六边形ABCDEF的内角和为4×180°=720°
例2 求证:n边形的对角线有条.
分析解答:先来看四边形,对角线如图2条,再看五边形,对角线有5条线如图,六边形对角线有9条,如图即从一个顶点,可以作(n-3)条对角线n-3是由于A点与本身不能作对角线,与A相邻的点即A的边线为边不是对角线,因此只能作(n-3)条.
又一个多边形有n个顶点,因此可作n(n-3)条.
但又如,AC与CA是同一条对有线,故每条都重复了两次所以一个n边形有条对角线.
例3 一个正多边形,它的外角等于内角的,求这个多边形的边数.
分析:利用多边形外角和与内角和定理,及一个外角与内角的关系,可求:由于此多边形为正多边形每个内角都相等,每个外角也都相等.
解:设它的一个内角为,则外角为
∴ ∴
∴ 它的外角为
∵ 多边形的外角和为360°这又是一个正多边形
∴ 这个多边形为5边形.
例4 如果凸多边形的边数增加一条,则它的内角和增加多少? 外角和呢?请你证明你的结论
分析及解答:由多边形内角和定理:n边形的内角和为
(n+1)边形的内角和为
∴
∴ 它的内角和增加180°,而由于多边形外角和均为360°,所以当边数增加一条时外角和不变,仍为360°.
[同步达纲练习]
几何:
3.多边形的内角和与外角和定理:
(1)几边形:平面内n(n≥3)条线段首尾顺次相接,如果其中任何两条线段都不在同一直线上,所组成的图形叫做n边形.
(2)多边形内角和定理:n边形内角和等于(n-2)·180°,(n≥3,n为自然数)
(3)多边形外角和定理:n边形外角和等于360°(n≥3,n为自然数)
难点:1.多边形内角和,外角和定理证明的方法,递推.
2.四边形的内角和与外角和定理,
四边形内角和与外角和都等于360°.
31.100º 11边形
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