(1)回想你家客厅(卧室)里的地砖、地板铺设情况,并说说是用什么形状的地砖、地板铺成的?
(2)展示实物模型、地板或地砖的拼合图案(可用实物投影仪展示).
问题:为什么这些形状的地砖能铺成无缝隙的地板呢?
设计意图:挖掘生活材料,使课堂教学尽量结合学生的生活实际.以实物图形加深对地板(地砖)铺设等实际情况的认识,介绍“镶嵌”概念;提出问题,导出本节要探究的课题.
2. 2. 各种平面图形能作“平面镶嵌”的必备条件,是图形拼合后同一个顶点的若干个角的和恰好等于360°。
(1)用同一种正多边形镶嵌,只要正多边形内角的度数整除360°,这种正多边形就能作平面镶嵌。比如正三角形、正方形、正六边形能作平面镶嵌,而正五边形、正七边形、正八边形、正九边形、……的内角的度数都不能整除360°,所以这些正多边形都不能镶嵌。
(2)用两种或三种正多边形镶嵌,详见163-166页内容。
(3)用一种任意的凸多边形镶嵌。
从正多边形镶嵌中可以知道:只要研究任意的三角形、四边形、六边形能否作平面镶嵌,而不必考虑其他多边形能否镶嵌(这是因为:假如这类多边形能作镶嵌,那么这类正多边形必能作镶嵌,这与上面研究的结论矛盾)
1. 1. 镶嵌,作为数学学习的一项探究性活动,主要有以下两个方面的原因:
(1) 如果用“数学的眼光”观察事物,那么用正方形的地砖铺地,就是“正方形”这种几何图形可以无缝隙、不重叠地拼合。
(2) “几何“中研究图形性质时,也常常要把图形拼合。比如,两个全等的直角三角形可以拼合成一个等腰三角形,或一个矩形,或一个平行四边形;又如,六个全等的等边三角形可以拼合成一个正六边形,四个全等的等边三角形可以拼合成一个较大的等边三角形等。
探究性活动是一种心得学习方式,它不是老师讲授、学生听讲的学习方式,而是学生自己应用已有的数学知识和能力,去探索研究生活中有趣而富有挑战问题的活动过程。
建议本节教学活动采用以下形式:
(1) (1) 学生自己提出研究课题;
(2) (2) 学生自己设计制订活动方案;
(3) (3) 操作实践;
(4) (4) 回顾和总结。
教学活动中,教师提供必要的指点和帮助。引导学生对探究性活动进行反思,不仅关注学生是否能用已有的知识去探究和解决问题,并更多地关注学生自主探究、与他人合作的愿望和能力。
2.让学生在应用已有的数学知识和能力,探索和解决镶嵌问题的过程中,感受数学知识的价值,增强应用意识,获得各种体验。
1.会用正多边形无缝隙、不重叠地覆盖平面。
本课题的教学采取实验操作、观察发现、启发引导、探索交流等多种方法相结合的教法,特别关注了从实践到理论,再从理论到实践的全过程,教师对学生的实践进行指导,帮助学生优化思维过程,在此基础上,学生互相交流思维策略,设计创意,既满足了学生学习的多样化的要求,又扩展了学生的数学知识和使用数学语言的能力.
问题与情景 |
师生行为 |
设计意图 |
[活动1] 1.引入背景 |
学生欣赏美丽的校园一角,教师指出:用地砖铺地,用瓷砖贴墙,都要求砖与砖严丝合缝,不留空隙,把地面或墙面全部覆盖.从数学角度去分析,这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)的问题. |
从观察生活现象入手,抽象出数学问题--平面镶嵌的问题,激发学习兴趣. |
[活动2] 实验探究 实验1 尝试用手中的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形进行平面镶嵌 |
学生动手操作,记录结果.教师巡回指导,并展示镶嵌效果图案. |
通过实验,让学生发现正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌成一个平面图案,而正五边形则不能. |
实验2 用正三角形与正四形镶嵌成一个平面图案,用正三交形与正六边形镶嵌成一个平面图案 |
学生在拼图的过程中,教师巡回指导. 教师对出现的不同的拼图方法予以肯定.学生完成实验后,出示镶嵌效果图案. |
学生通过实验知道两种正多边形也可以进行平面镶嵌. |
实验3 用任意三角形或任意四边形镶嵌成一个平面图案 |
学生拼图,教师重点关注学生能否把不相等的角拼接在一个顶点处,能否把相等的边拼在一起. 教师出示镶嵌效果图. |
培养学生的操作能力,了解一般的三角形或四边形可以进行平面镶嵌. |
问题与情景 |
师生行为 |
设计意图 |
[活动3] 问题1 分析实验结果 问题2 解释实验结果 |
学生观察上述的实验结果,分组讨论平面镶嵌的条件, 发现问题与多边形的内角大小有密切关系,教师出示图例,引导学生发现拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°. 师生归纳得出多边形平面镶嵌的条件: ①拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°; ②相邻的多边形有公共边. 例如下图中的点O处∠1+∠2+∠3+∠4=360°,OA两侧的多边形有公共边OA. 图 学生解释任意三角形能够进行平面镶嵌的理由:图中 ∠1+∠2+ ∠3=180°,把6个全等的三角形适当地拼接在同一个点,一定能使这点为顶点的6个角的和恰好等360°,并且使边长相等的两边贴在一起. 于是, 用三角形能镶嵌成一个平面图案. 学生说明正五边形不能镶嵌成一个平面图案的原因: 由多边形内角和公司,可以得到五边形内角和等于(5-2)×180°=540°,因此,正五边形的每个内角等于540°÷5=108°.360°不是108°的整数倍,也就是用一些108°的角不能拼出360°的角. |
学生运用已有的知识对实验结果进行推理分析,把感性认识上升到理性认识的高度,说明了理论来源于实践. 验证平面镶嵌的条件,说明理论来源于实践又运用于实践. |
问题与情景 |
师生行为 |
设计意图 |
[活动4] 问题1 小结反思 问题2 自由设计 |
学生自由谈本节课的收获.教师注意纠正学生的错误与不足,对学生的进步予以表扬. 教师先展示几组其它平面镶嵌的图形,扩展学生视野,然后要求学生独立设计一份平面镶嵌的图案,教师先个别辅导,再集中欣赏学生的作品. |
复习巩固已学知识,学生学会小结反思. 将已学的知识用于实际.培养学生的创造能力,发展学生的审美意识. |
活动流程图 |
活动内容和目的 |
活动1 引入背景 活动2 实验探究 活动3 结果分析 活动4 知识运用 |
创设情境,导入新课,了解多边形平面覆盖来自生活实际 发现有的多边形能够覆盖平面,有的则不能 讨论多边形能覆盖平面的基本条件,运用多边形内角和公式对实验结果进行分析. 进行简单的镶嵌设计,把所学知识运用到实践中. |
4.情感态度目标:平面镶嵌是体现多边形在现实生活中应用价值的一个方面,通过探索多边形平面图形的镶嵌并且欣赏美丽图案,从而感受数学与现实生活的密切联系,体会数学活动充满了探索性与创造性,培养学生学习数学的兴趣,促进创新意识、审美意识的发展.
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