4．把一个两位数的个位与十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数字加起来恰好是某个自然数的平方，这个和数是--。

3．祖孙三人，孙子和爷爷的年龄之积是1512，而爷爷，父亲，孙子三人的年龄之积是完全平方数，父亲的年龄是--。

2．46305乘以一个自然数a，积是一个完全平方数，则最小的a是--。

1．把1-50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536……，请问这个多位数共有(　　　)位数字。

111...10=100a^2+20a, 111...1(n-1个1)=10a^2+2a

因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。

若111...1(n个1)=(10a+9)^2，同理。

综上所述，不可能是完全平方数。

另证：由为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方。但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为1，所以不是完全平方数。

[例4]：从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？

分析：有奇数个约数为完全平方数，即求从200至1800的自然数中有多少个完全平方数。

解：从200到1800的自然数中，完全平方数有15^2，16^2，……，42^2。共有42―15+1=28个数满足题意。

[例5]：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？

解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为600

3︱600　∴3︱A

此数有3的因子，故9︱A。但9︱600，∴矛盾。故不可能有完全平方数。

[例6]：试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同。

解：设此数为aabb，则：aabb=a0b*11

此数为完全平方，则必须是11的倍数。因此11︱a + b，而a,b为0,1,2,9，故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8组可能。

直接验算，可知此数为7744=88。

[例7]：求满足下列条件的所有自然数：

(1)它是四位数。

(2)被22除余数为5。

(3)它是完全平方数。

解：设22n+5=N^2，其中n,N为自然数，可知N为奇数。

N^2-16=11(2n-1), (N+4)(N-4)=11(2n-1)

11︱N - 4或11︱N + 4

N=(2k-1)*11+4, N=22k-5 或 N=22k-15 (k=1,2,......)

经试数可知，此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。

[例8]：有两个数，它们各个数位的数字从左到右越来越大，其中一个六位数是另一个数的平方，求这两个数。

解：由题意可知这个六位数的个位数字应大于或等于6。∵123456=3×8^3×643不是完全平方数，又因为完全平方数个位只能是0，1，4，5，6，9。∴这个六位数的个位只能是9。∴另一个数的个位只能是3或7，并且另一个数是大于300的三位数。∵数字从左到右越来越大，∴个位数只能是7，∴可能有347，357，367，457，467，经检验，只有367^2=134689符合。

[例9]：甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元？

解：n头羊的总价为n^2元，由题意知n^2元中含有奇数个10元，即完全平方数n^2的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，n^2的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。

[例10]：矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积。

解：设矩形的边长为x,y，则四位数 N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)=11(99x+x+y)

∵N是完全平方数，11为质数　∴x+y能被11整除。

又由分析可得x+y=11。

∴N=11^2*(9x+1)∴9x+1是一个完全平方数，验算知x=7满足条件。

又由x+y=11得y=4。∴S=xy=28cm^2.

[例11]：少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。 这200个灯泡按1-200编号，它们的亮暗规则是：

第一秒，全部灯泡变亮；

第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；

第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；

一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。 这样继续下去，每4分钟一个周期。问：第200秒时，明亮的灯泡有多少个？

分析：灯泡最终是明或暗与开关被拉的次数的奇偶性有关。最后明亮的灯泡开关应被拉过奇数次。而开关被拉动的次数等于该灯泡编号数的约数的个数，因此约数个数为奇数个的编号，灯泡亮着，即编号为完全平方数的灯泡符合题意。

解：某个灯泡，如果它的亮暗变化的次数是奇数，那么它是明亮的。根据题意可知，号码为K的灯泡，亮暗变化的次数等于K的约数的个数，若K的约数的个数是奇数，则K一定是平方数。所以200秒时，那些编号是平方数的灯泡是明亮的。因为200以内有14个平方数，所以200秒时明亮的灯泡有14个。

[例12]：“1993与一个三位数的和”是一个完全平方数，这样的三位数有多少个？

解：设满足题目需求的平方数为χ，则由

45^2<1993+100<46^2，

54^2<1993+999<55^2，可知

45^2<1993+100≤χ≤1993+999<55^2

其中共有46^2，47^2，……，54^2这9个完全平方数。

∴共有9个三位数符合要求。

[例1]：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。

解：设此自然数为x，依题意可得 x-45=m^2................(1) x+44=n^2................(2)(m,n为自然数)

(2)-(1)可得　n^2-m^2=89, (n+m)(n-m)=89

但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。

[例2]：求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方。

分析：设四个连续的整数为n,(n+1),(n+2),(n+3)，其中n为整数。欲证

n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。

证明：设这四个整数之积加上1为m，则

m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2

而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。

[例3]：求证：11,111,1111,......,111...1(n个1)这串数中没有完全平方数。

分析：形如111...1(n个1)的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即

111...1(n个1)=(10a+1)^2　或　111...1(n个1)=(10a+9)^2

在两端同时减去1之后即可推出矛盾。

证明：若111...1(n个1)=(10a+1)^2=100a^2+20a+1，则

8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。

7.形如8k+2, 8k+3, 8k+5, 8k+6,8k+7型的整数一定不是完全平方数；

6.形如5k±2型的整数一定不是完全平方数；

5.形如4k+2和4k+3型的整数一定不是完全平方数；