例如：如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE+CF＞EF

证明：延长ED至M，使DM=DE，连接　

CM，MF。在△BDE和△CDM中，

∵

　 ∴△BDE≌△CDM　 (SAS)

　又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 (已知)　　　　　　　

　　 ∠1+∠2+∠3+∠4＝180°(平角的定义)

　 ∴∠3+∠2=90°

即：∠EDF＝90°

　 ∴∠FDM＝∠EDF ＝90°

在△EDF和△MDF中

　　 ∵

　∴△EDF≌△MDF　 (SAS)

　∴EF＝MF (全等三角形对应边相等)

　∵在△CMF中，CF+CM＞MF(三角形两边之和大于第三边)

　∴BE+CF＞EF

注：上题也可加倍FD，证法同上。

注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。

例如：如图3-1：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE+CF＞EF。

分析：要证BE+CF＞EF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同一个三角形中。

证明：在DA上截取DN＝DB，连接NE，NF，则DN＝DC，

在△DBE和△DNE中：

∵

∴△DBE≌△DNE　 (SAS)

∴BE＝NE(全等三角形对应边相等)

同理可得：CF＝NF

在△EFN中EN+FN＞EF(三角形两边之和大于第三边)

∴BE+CF＞EF。

注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。

例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC＞∠BAC。

分析：因为∠BDC与∠BAC不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置；

证法一：延长BD交AC于点E，这时∠BDC是△EDC的外角，

　 　∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC

证法二：连接AD，并延长交BC于F

∵∠BDF是△ABD的外角

∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD

∴∠BDF+∠CDF＞∠BAD+∠CAD

即：∠BDC＞∠BAC。

注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。

例1：已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB+AC＞BD+DE+CE.

证明：(法一)将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N，

在△AMN中，AM+AN ＞ MD+DE+NE;(1)

　　 在△BDM中，MB+MD＞BD；　　　 (2)

　　 在△CEN中，CN+NE＞CE；　　 　(3)

　 由(1)+(2)+(3)得：

　　　 AM+AN+MB+MD+CN+NE＞MD+DE+NE+BD+CE

　 　∴AB+AC＞BD+DE+EC

(法二：)如图1-2， 延长BD交 AC于F，延长CE交BF于G，

在△ABF和△GFC和△GDE中有：　　 　　

　 AB+AF＞ BD+DG+GF　(三角形两边之和大于第三边)(1)

　 GF+FC＞GE+CE(同上)………………………………(2)

　 DG+GE＞DE(同上)……………………………………(3)

　 由(1)+(2)+(3)得：

　 AB+AF+GF+FC+DG+GE＞BD+DG+GF+GE+CE+DE

　 　∴AB+AC＞BD+DE+EC。

(四)①由　 　得

　 ②∵　 ∴与轴交于A(0,0)和B(3,0)

　 设存在

　 由题意得　 　

　 将舍去(若点必在轴上方,此时△AB是钝角三角形,与△AB是锐角三角形不符)

当时,　 　　　

∴　 也会在[因为]在对称轴左边.

∴适合条件的点是(2,-2)　

　　　　　　　　　　　　　 y　　

　　　　　　　　　　　　　 A　　　　　 B

(三)1.D　 2.C　 3.C

(二)1. 　　2. 　　3. 　　4. 30° 5. 　　6. (9,0),(0,-3)　

7. 2; 　　8. 　　9. ¨5或3　 10. (3,-2)　 11.

　　 12. 　13. 4　 14. 　15.　　

16.提示:设轴交于(0,2)　　　　　　　　　　 y

它与轴交于(),则S△AOB=　　　　　　　 A(0,2)

∴与轴交于(7,0)和(-7,0)　 　　　　　　　　　　　　　0　 B() x

将代入公式,

将代入得

17.交点C的坐标是 的解 　S△ABC=25　 S△CPQ=

18.提示:轴交于(2,0),与轴交于()

则　 　

∴B(20,0)或(-16,0)分别和C(3,-1)代入得

∴和　　 y

　　　　　　　　　　　　　　　　 0　 A(2,0)　　 B(,0)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 C(3,-1)

19.二次函数轴交于A()和B(),是的根.线段OA的长是,线段OB的长是,由题意得:,若图象是

　　　　　　　　　　　　　　　　 A()　　 B()

则　 　　两根之积是6

若图象是

　　　 A()　　 　B()

则　 　　

∴　 S△ABC=3或15

(一)1.√　 2.√　 3.×　 4.×　 5.×　 6.√

(四)解答题

　 已知关于的二次函数 ，求：

　 1.关于的一元二次方程的两根平方和等于9,求的值.

　 2.在1的条件下,设这个二次函数的图象与轴从左到右交于A,B两点,问在对称轴的右边的图象上,是否存在点M,使锐角△AMB的面积等于3,若存在,请写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

(三)选择题:

1.若函数在同一坐标系中相交,且,则交点在:

A.第一象限　　 B.第二象限 　　C.第二,四象限　　 D.第四象限

2.∠A是锐角,,则∠A:

　　 A.<30°　　 B.> 30°　　 C.<60°　　 D.>60°

3.在同一坐标系中,的图象大致是:

　　　　 y　　　　　　　　 y　　　　　　　 y　　　　　　　 y

　　　 　0　　　　　 　　　0　　　　　　　 0　　　　　　　 0

　　　　　　　 x　　　　　　　　 x　　　　　　　 x　　　　　　　　 x

　　　 　A.　 　　　　　　B.　　　　 　　　C.　　　　　　 D.