1.在下列根式中,不是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
17.如图,直线分别与x轴、y轴交于点A、B,⊙E经过原点O及A、B两点.
(1)C是⊙E上一点,连结BC交OA于点D,若∠COD=∠CBO,求点A、B、C的坐标;
(2)求经过O、C、A三点的抛物线的解析式:
(3)若延长BC到P,使DP=2,连结AP,试判断直线PA与⊙E的位置关系,并说明理由.
解:(1)连结EC交x轴于点N(如图).
∵ A、B是直线分别与x轴、y轴的交点.∴ A(3,0),B.
又∠COD=∠CBO. ∴ ∠CBO=∠ABC.∴ C是的中点. ∴ EC⊥OA.
∴ .
连结OE.∴ . ∴ .∴ C点的坐标为().
(2)设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为.
∵ C(). ∴.∴ .
∴ 为所求.
(3)∵ , ∴ ∠BAO=30°,∠ABO=50°.
由(1)知∠OBD=∠ABD.∴ .
∴ OD=OB·tan30°-1.∴ DA=2.
∵ ∠ADC=∠BDO=60°,PD=AD=2.
∴ △ADP是等边三角形.∴ ∠DAP=60°.
∴ ∠BAP=∠BAO+∠DAP=30°+60°=90°.即 PA⊥AB.
即直线PA是⊙E的切线.
16.已知在平面直角坐标系内,O为坐标原点,A、B是x轴正半轴上的两点,点A在点B的左侧,如图.二次函数(a≠0)的图象经过点A、B,与y轴相交于点C.
(1)a、c的符号之间有何关系?
(2)如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项,试证
a、c互为倒数;
(3)在(2)的条件下,如果b=-4,,求a、c的值.
解:
(1)a、c同号. 或当a>0时,c>0;当a<0时,c<0.
(2)证明:设点A的坐标为(,0),点B的坐标为(,0),则.
∴ ,,.
据题意,、是方程的两个根. ∴ .
由题意,得,即.
所以当线段OC长是线段OA、OB长的比例中项时,a、c互为倒数.
(3)当时,由(2)知,,∴ a>0.
解法一:AB=OB-OA=,
∴ .
∵ , ∴ .得.∴ c=2.
解法二:由求根公式,,
∴ ,.
∴ .
∵ ,∴ ,得.∴ c=2.
15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面1∶11000的比例图上,跨度AB=5 cm,拱高OC=0.9 cm,线段DE表示大桥拱内桥长,DE∥AB,如图(1).在比例图上,以直线AB为x轴,抛物线的对称轴为y轴,以1 cm作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,如图(2).
(1)求出图(2)上以这一部分抛物线为图象的函数解析式,写出函数定义域;
(2)如果DE与AB的距离OM=0.45 cm,求卢浦大桥拱内实际桥长(备用数据:,计算结果精确到1米).
解:(1)由于顶点C在y轴上,所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为
.
因为点A(,0)(或B(,0))在抛物线上, 所以,得.
因此所求函数解析式为.
(2)因为点D、E的纵坐标为, 所以,得.
所以点D的坐标为(,),点E的坐标为(,).
所以.
因此卢浦大桥拱内实际桥长为 (米).
14.已知二次函数的图象经过点(1,-1).求这个二次函数的解析式,并判断该函数图象与x轴的交点的个数.
解:根据题意,得a-2=-1.
∴ a=1. ∴ 这个二次函数解析式是.
因为这个二次函数图象的开口向上,顶点坐标是(0,-2),所以该函数图象与x轴有两个交点.
13.已知二次函数的图象如图所示.
(1)求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标.
(2)若点N为线段BM上的一点,过点N作x轴的垂线,垂足为点Q.当点N在线段BM上运动时(点N不与点B,点M重合),设NQ的长为l,四边形NQAC的面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使△PAC为直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)将△OAC补成矩形,使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要计算过程).
解:(1)设抛物线的解析式,
∴ .∴ .∴ .
其顶点M的坐标是.
(2)设线段BM所在的直线的解析式为,点N的坐标为N(t,h),
∴ .解得,.
∴ 线段BM所在的直线的解析式为.
∴ ,其中.∴ .
∴ s与t间的函数关系式是,自变量t的取值范围是.
(3)存在符合条件的点P,且坐标是,.
设点P的坐标为P,则.
,.
分以下几种情况讨论:
i)若∠PAC=90°,则.
∴
解得:,(舍去). ∴ 点.
ii)若∠PCA=90°,则.
∴
解得:(舍去).∴ 点.
iii)由图象观察得,当点P在对称轴右侧时,,所以边AC的对角∠APC不可能是直角.
(4)以点O,点A(或点O,点C)为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这边OA(或边OC)的对边上,如图a,此时未知顶点坐标是点D(-1,-2),
以点A,点C为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上,如图b,此时未知顶点坐标是E,F.
图a 图b
12.已知:抛物线与x轴的一个交点为A(-1,0).
(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;
(2)D是抛物线与y轴的交点,C是抛物线上的一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线的解析式;
(3)E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点,如果点E在(2)中的抛物线上,且它与点A在此抛物线对称轴的同侧,问:在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△APE的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解法一:
(1)依题意,抛物线的对称轴为x=-2.
∵ 抛物线与x轴的一个交点为A(-1,0),
∴ 由抛物线的对称性,可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(-3,0).
(2)∵ 抛物线与x轴的一个交点为A(-1, 0),
∴ .∴ t=3a.∴ .
∴ D(0,3a).∴ 梯形ABCD中,AB∥CD,且点C在抛物线 上,
∵ C(-4,3a).∴ AB=2,CD=4.
∵ 梯形ABCD的面积为9,∴ .∴ .
∴ a±1.
∴ 所求抛物线的解析式为或.
(3)设点E坐标为(,).依题意,,,
且.∴ .
①设点E在抛物线上,
∴.
解方程组 得
∵ 点E与点A在对称轴x=-2的同侧,∴ 点E坐标为(,).
设在抛物线的对称轴x=-2上存在一点P,使△APE的周长最小.
∵ AE长为定值,∴ 要使△APE的周长最小,只须PA+PE最小.
∴ 点A关于对称轴x=-2的对称点是B(-3,0),
∴ 由几何知识可知,P是直线BE与对称轴x=-2的交点.
设过点E、B的直线的解析式为,
∴ 解得
∴ 直线BE的解析式为.∴ 把x=-2代入上式,得.
∴ 点P坐标为(-2,).
②设点E在抛物线上,∴ .
解方程组 消去,得.
∴ △<0 . ∴ 此方程无实数根.
综上,在抛物线的对称轴上存在点P(-2,),使△APE的周长最小.
解法二:
(1)∵ 抛物线与x轴的一个交点为A(-1,0),
∴ .∴ t=3a.∴ .
令 y=0,即.解得 ,.
∴ 抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(-3,0).
(2)由,得D(0,3a).
∵ 梯形ABCD中,AB∥CD,且点C在抛物线
上,
∴ C(-4,3a).∴ AB=2,CD=4.
∵ 梯形ABCD的面积为9,∴ .解得OD=3.
∴ .∴ a±1.
∴ 所求抛物线的解析式为或.
(3)同解法一得,P是直线BE与对称轴x=-2的交点.
∴ 如图,过点E作EQ⊥x轴于点Q.设对称轴与x轴的交点为F.
由PF∥EQ,可得.∴ .∴ .
∴ 点P坐标为(-2,).
以下同解法一.
11.已知抛物线y=-x2+mx-m+2.
(1)若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧,并且AB=,试求m的值;
(2)设C为抛物线与y轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N,并且 △MNC的面积等于27,试求m的值.
解: (1)A(x1,0),B(x2,0) . 则x1 ,x2是方程 x2-mx+m-2=0的两根.
∵x1 + x2 =m , x1·x2 =m-2 <0 即m<2 ;
又AB=∣x1 - x2∣= ,
∴m2-4m+3=0 .
解得:m=1或m=3(舍去) , ∴m的值为1 .
(2)M(a,b),则N(-a,-b) .
∵M、N是抛物线上的两点,
∴
①+②得:-2a2-2m+4=0 . ∴a2=-m+2 .
∴当m<2时,才存在满足条件中的两点M、N.
∴ .
这时M、N到y轴的距离均为,
又点C坐标为(0,2-m),而S△M N C = 27 ,
∴2××(2-m)×=27 .
∴解得m=-7 .
10.已知抛物线与x轴交于A、
B两点,与y轴交于点C.是否存在实数a,使得
△ABC为直角三角形.若存在,请求出a的值;若不
存在,请说明理由.
解:依题意,得点C的坐标为(0,4).
设点A、B的坐标分别为(,0),(,0),
由,解得 ,.
∴ 点A、B的坐标分别为(-3,0),(,0).
∴ ,,
.
∴ ,
,.
〈ⅰ〉当时,∠ACB=90°.
由,
得.
解得 .
∴ 当时,点B的坐标为(,0),,,.
于是.
∴ 当时,△ABC为直角三角形.
〈ⅱ〉当时,∠ABC=90°.
由,得.
解得 .
当时,,点B(-3,0)与点A重合,不合题意.
〈ⅲ〉当时,∠BAC=90°.
由,得.
解得 .不合题意.
综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉,当时,△ABC为直角三角形.
9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现:骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化,而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同.他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图.请根据图象回答:
⑴第一天中,在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?
⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?
⑶兴趣小组又在研究中发现,图中10时到
22时的曲线是抛物线,求该抛物线的解
析式.
解:⑴第一天中,从4时到16时这头骆驼的
体温是上升的
它的体温从最低上升到最高需要12小时
⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃
⑶
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