3、已知二次函数的图象过点A(，0)，且关于直线＝2对称，则这个二次函数的解析式可能是　　　　　　　　　　　 。(只要求写一个可能的解析式)

2、如果抛物线的顶点在轴上，则＝　　　　　 。

1、抛物线的口向　　　 ，且有最　　　 点。

　例1．已知y=，其中=(k≠0的常数)，与成正比例，求证y与x也成正比例。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明：∵与成正比例，

　设=a(a≠0的常数),

　∵y=, =(k≠0的常数),

　∴y=·a=akx，

　其中ak≠0的常数，

　∴y与x也成正比例。

　例2．已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断=(3-)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。

　解：依题意，得

　解得 n=-1，

　∴=-3x-1,

　=(3-)x, 　是正比例函数；

　=-3x-1的图象经过第二、三、四象限，随x的增大而减小；

　=(3-)x的图象经过第一、三象限，随x的增大而增大。

　说明：由于一次函数的解析式含有待定系数n，故求解析式的关键是构造关于n的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标”来构造方程。

　例3．直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y轴上，求此直线解析式。

　分析：直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定与y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等。例 y=2x,y=2x+3的图象平行。

　解：∵y=kx+b与y=5-4x平行，

　∴k=-4,

　∵y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴，

　∴b=18，

　∴y=-4x+18。

　说明：一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定点，即函数图象平行于直线y=kx，经过(0, b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y轴交点定b。

　例4．直线与x轴交于点A(-4，0)，与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，求直线的解析式。

　解：∵点B到x轴的距离为2，

　∴点B的坐标为(0，±2)，

　设直线的解析式为y=kx±2,

　∵直线过点A(-4，0)，

　∴0=-4k±2,

　解得：k=±,

　∴直线AB的解析式为y=x+2或y=-x-2.

　说明：此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式必备的。 　(1)图象是直线的函数是一次函数； 　(2)直线与y轴交于B点，则点B(0，)； 　(3)点B到x轴距离为2，则||=2； 　(4)点B的纵坐标等于直线解析式的常数项，即b=； 　(5)已知直线与y轴交点的纵坐标，可设y=kx+， 　下面只需待定k即可。

　 　 　例5．已知一次函数的图象，交x轴于A(-6，0)，交正比例函数的图象于点B，且点B在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB的面积为6平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。

　分析：自画草图如下：

　解：设正比例函数y=kx，

　一次函数y=ax+b，

　∵点B在第三象限，横坐标为-2，

　设B(-2，)，其中<0，

　∵=6，

　∴AO·||=6，

　∴=-2，

　把点B(-2，-2)代入正比例函数y=kx，得k=1

　把点A(-6，0)、B(-2，-2)代入y=ax+b，

　得

　解得：

　∴y=x, y=-x-3即所求。

　说明：(1)此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式，注意两个函数中的系数要用不同字母表示；

　(2)此例需要把条件(面积)转化为点B的坐标。这个转化实质含有两步：一是利用面积公式AO·BD=6(过点B作BD⊥AO于D)计算出线段长BD=2，再利用||=BD及点B在第三象限计算出=-2。若去掉第三象限的条件，想一想点B的位置有几种可能，结果会有什么变化？(答：有两种可能，点B可能在第二象限(-2，2)，结果增加一组y=-x, y=(x+3).

　例6．已知正比例函数y=kx (k<0)图象上的一点与原点的距离等于13，过这点向x轴作垂线，这点到垂足间的线段和x轴及该图象围成的图形的面积等于30，求这个正比例函数的解析式。

　分析：画草图如下： 　 　则OA=13，=30，

　则列方程求出点A的坐标即可。

　解法1：设图象上一点A(x, y)满足

　解得：；；；

　代入y=kx (k<0)得k=-, k=-.

　∴y=-x或y=-x。

　解法2：设图象上一点A(a, ka)满足

　由(2)得=-,

　代入(1)，得(1+)·(-)=.

　整理，得60+169k+60=0.

　解得 k=-或k=-.

　∴ y=-x或y=-x.

　说明：由于题目已经给定含有待定系数的结构式y=kx，其中k为待定系数，故解此例的关键是构造关于k的方程。此例给出的两个解法代表两种不同的思路：解法1是把已知条件先转化为求函数图象上一点的坐标，构造方程解出，再求k；解法2是引进辅助未知数a，利用勾股定理、三角形面积公式直接构造关于a、k的方程组，解题时消去a，求出k值。　

　例7．在直角坐标系x0y中，一次函数y=x+的图象与x轴，y轴，分别交于A、B两点，点C坐标为(1，0)，点D在x轴上，且∠BCD=∠ABD，求图象经过B、D两点的一次函数的解析式。

　分析：由已知可得A点坐标(-3，0)，B点坐标(0，)，点C是确定的点(1，0)，解题的关键是确定点D的坐标，由点D在x轴上，以∠BCD=∠ABD的条件，结合画草图可知∠BCD的边BC确定，顶点C确定，但边CD可以有两个方向，即点D可以在C点右侧，也可以在C点左侧，因此解此题要分类讨论。

　解：∵点A、B分别是直线y=x+与x轴和y轴交点，

　∴A(-3，0)，B(0，)，

　∵点C坐标(1，0)由勾股定理得BC=，AB=，

　设点D的坐标为(x, 0)，

　(1)当点D在C点右侧，即x>1时，

　∵∠BCD=∠ABD，

　∠BDC=∠ADB，

　∴△BCD∽△ABD，

　∴=

　∴=- - - - ①

　∴=

　∴8-22x+5=0

　∴x₁=, x₂=,

　经检验：x₁=, x₂=,都是方程①的根。

　∵x=,不合题意，∴舍去。∴x=，

　∴D点坐标为(, 0)。

　设图象过B、D两点的一次函数解析式为y=kx+b，

　∴

　∴所求一次函数为y=-x+。

　(2)若点D在点C左侧则x<1，

　可证△ABC∽△ADB，

　∴

　∴- - - - ②

　∴8-18x-5=0

　∴x₁=-, x₂=,

　经检验x₁=-, x₂=,都是方程②的根。

　∵x₂=不合题意舍去，∴x₁=-,

　∴D点坐标为(-, 0)，

　∴图象过B、D(-, 0)两点的一次函数解析式为y=4x+， s

　综上所述，满足题意的一次函数为y=-x+或y=4x+.

　例8．已知：如图一次函数y=x-3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点C(4，0)作AB的垂线交AB于点E，交y轴于点D，求点D、E的坐标。

　解：直线y=x-3与x轴交于点A(6，0)，与y轴交于点B(0，-3)，

　∴OA=6，OB=3，

　∵OA⊥OB，CD⊥AB，

　∴∠ODC=∠OAB，

　∴cot∠ODC=cot∠OAB,即

　∴OD===8.

　∴点D的坐标为(0，8)，

　设过CD的直线解析式为y=kx+8,将C( 4,0)代入

　0=4k+8, 解得 k=-2

　∴直线CD：y=-2x+8,

　由　解得

　∴点E的坐标为(，-)

　说明：由于点E既在直线AB上，又在直线CD上，所以可以把两直线的解析式联立，构成二元一次方程组，通过解方程组求得。

3．求一次函数解析式的方法

　求函数解析式的方法主要有三种

　一是由已知函数推导或推证

　二是由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法(或不易)判断两个变量之间具有什么样的函数关系。

　三是用待定系数法求函数解析式。

　“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程(组)来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：

　(1)利用一次函数的定义

　构造方程组。

　(2)利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标(如例6)，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向(如例3)

　(3)利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程(如例4、例5)。

　(4)利用题目已知条件直接构造方程(如例6)

2．增减性

　k>0时，y随x增大而增大

　k<0时，y随x增大而减小

1．图象的位置: 　 　　

3、性质：

2、图象：一次函数的图象是一条直线，

　(1)两个常有的特殊点：与y轴交于(0，b)；与x轴交于(-，0)

　(2)由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。

1、一次函数：形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。

　注意：(1)k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；

　(2)当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。