0  206651  206659  206665  206669  206675  206677  206681  206687  206689  206695  206701  206705  206707  206711  206717  206719  206725  206729  206731  206735  206737  206741  206743  206745  206746  206747  206749  206750  206751  206753  206755  206759  206761  206765  206767  206771  206777  206779  206785  206789  206791  206795  206801  206807  206809  206815  206819  206821  206827  206831  206837  206845  447090 

4、已知二次函数的顶点是(2,-1),且与y轴的交点到原点的距离是2,则这个二次函数的解析式是____________.

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3、抛物线x轴的交点的个数是(  )

  A.0 B.1 C.2 D.由m值决定

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2、函数 在同一坐标系中的图象大致为(  )

  

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1、函数 的图象可能是(  )

  

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3、使学生参与教学过程,通过主体的积极思维,体验感悟数学.逐步建立数学的观念,培养学生独立地获取知识的能力.

 教学重点:初步理解数形结合的数学思想

 教学难点:初步理解数形结合的数学思想

 教学用具:微机

 教学方法:探究式、小组合作学习

 教学过程:

 例1、已知:抛物线y=x2-(m2-1)x-2m2-2

 ⑴求证:无论m取什么实数,抛物线与x轴一定有两个交点

 ⑵m取什么实数时,两交点间距离最短?是多少?

 解:

  △ = (m2-1)2+4(2m2+2)

  = m4-2m2+1+8m2+8

  = m4+6m2+9

  = (m2+3)2

  m2≥0

  ∴m2+3>0

  ∴△>0 

  ∴抛物线与x轴有两个交点

 问题:为什么说当△>0时,抛物线y = ax2+bx+c与x轴有两个交点.(能否从数和形两方面说明)

 设计意图:在课堂上创设让学生说数学的机会,学会合作学习,以达到①经验共享,在思维的碰撞中共同提高.②学会合作,消除个人中心.③发现自我,提高参与度.④弘扬个体的主体性,形成健康,丰富的个性.

 数:点在曲线上,点的坐标满足曲线的方程.反之,曲线方程的每一个实数解对应的点都在曲线上.抛物线与x轴的交点,既在抛物线上,又在x轴上.所以交点的坐标既满足抛物线的解析式,也满足x轴的解析式.设交点坐标为(x,y)

 ∴

    这样交点问题就转化成求这个二元二次方程组的解.代入y = 0,消去y,转化成ax2+bx+c=0这个一元二次方程求根问题.根据以前学过的知识,当△>0时, ax2+bx+c=0有两个不相等的实根.∴y = ax2+bx+c

 y = 0

 有两个不等的实数解

 ∴抛物线与x轴交于两个不同的点.

 形:顶点在x轴上方,且开口向下.或者顶点在x轴下方,且开口向上.

 设计意图:渗透解析几何的基本思想

 使学生掌握转化思想使学生在解题过程中,感知数学的直观性和形式化这二重性.掌握数形结合,分类讨论的思想方法.逐步学会数学的思维.

 

 转化成代数语言为:

    

 小结:第一种方法,根据解析几何的基本思想.将求曲线的交点问题,转化成求方程组的解的问题.

 第二种方法,借助于图象思考问题,比较直观.发现规律后,再用数学的符号语言将其形式化.这既体现了数学中的数形结合的思想方法,也是探索解数学问题的一般方法.

 思考:试从数、形两方面说明抛物线与x轴的交点个数与判别  式的符号的关系.

 设计意图:数学学习是一个再创造的过程,不能等同于数学知识的汇集,而要让学生经历数学知识的创造过程.使主体积极地参与到学习中去.以数学知识为载体,揭示出蕴涵于其中的数学思想方法,逐步形成数学观念.

 ⑵m取什么实数时,两交点间距离最短?是多少?

 解:设二次函数与x轴的两交点为(x1,0),(x2,0)

 解法㈠ 由⑴可知m为任何实数时, 都有△>0

 解①

  ∴  x1+x2=m2-1

  xx2=-2(m2+1)

  ∴│x2-x1│=

  =

  =

  =

  = m2+3

  ∴当m =0时,两交点最小距离为3

 这里两交点间距离是m的函数

 设计意图:培养学生的问题意识.在解题过程中,发现问题,并能运用已有的数学知识,将其一般化,形式化,解决问题,体会数学问题解决的一般方法.培养学生独立地获取数学知识的能力.渗透函数思想

 问题: 观察本题两交点间距离与判别式的值之间有何异同?具有一般的规律吗?如何说明.

 设x1、x2 为ax2+bx+c = 0的两根

 可以推出:

 还可以理解为顶点到x轴距离最短.

 设计意图:在对比、分析中,明确概念,揭示知识间的联系,帮助学生建立良好的认知结构.

 小结:观察这道题的结论,我们猜测出规律,将其一般化,推导出这个公式,这是学习数学知识的一般方法.

 解法㈡:用十字相乘法或求根公式法求根.

 思考:一元二次方程与二次函数的关系.

 思考:求m取什么实数时,y = x2-(m2-1)x  -2 m2-2被直线y = 2所截得的线段最短?是多少?

 练习:

 观察函数 的图象,回答:

 (1)y>0时,x的取值范围如何?

 (2)y=0时,x取什么值?

 (1)y<0时,x的取值范围如何?

 小结:数与形是数学中相互依赖的两个方面.图形比较直观,可以启发思路;而数学的严格证明也是必不可少的.直观性和形式化是数学的两重性.

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2、渗透解析几何,数形结合,函数等数学思想.培养学生发现问题解决问题,及逻辑思维的能力.

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1、使学生进一步理解二次函数的基本性质;

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 教材P124中1(3);P124中3(1)、(2);P125中

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(四)总结、扩展

 一般的二次函数,都可以变形成 的形式,其中:

 1.a能决定什么?怎样决定的?

 答:a的符号决定抛物线的开口方向;a的绝对值大小抛物线的开口大小。

 2.它的对称轴是什么?顶点坐标是什么?

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 首先,我们先来复习一下前面学习的一些有关知识.(出示幻灯)

 请你在同一直角坐标系内,画出函数 的图像,并指出它们的开口方向,对称轴及顶点坐标.

 这里之所以加上画函数 的图像,是为了使最后通过图像的观察能更全面一些,也更直观一些,可以同时给出图像先沿y轴,再沿 轴移动的方式,也可以给出图像

 先沿 轴再沿y轴移动的方式,使这部分知识能更全面,知识与知识之间的联系能更清晰、更具体.

 画这三个函数图像,可由学生在同一表中列值,但是要根据各自的不同特点取自变量

 的值,以便于学生进行观察.教师可事先准备好表格和画有直角坐标系的小黑板,由一名同

 学上黑板完成,其他同学在练习本上完成,待同学们基本做完之后加以总结,然后再找三名

 同学,分别指出这三个图像的开口方向、对称轴及顶点坐标,填入事先准备好的表格中.

 然后提问:你能否在这个直角坐标系中,再画出函数 的图像?

 由于前面几节课我们已经画了不少二次函数的图像,学生对画图已经有了一定的经验,

 同时可在画这个图时,把这些经验形成规律,便于学生以后应用.

 (l)关于列表:主要是合理选值与简化运算的把握,是教学要点.在选值时,首先要考虑的是函数图像的对称性,因此首先要确定中心值,然后再左,右取相同间隔的值;其次,选值时尽量选取整数,便于计算和描点.

 在选取 的值之后,计算y的值时,考虑到对称性,只需计算中心值一侧的值,另一侧由对称性可直接填入,但一定要保证运算正确.

 (2)关于描点:一般可先定顶点(即中心值对应的点,然后利用对称性描出各点,以逐步提高速度.)

 (3)关于连线:特别要注意顶点附近的大致走向。最后画的抛物线应平滑,对称,并符合抛物线的特点.

 由学生在上面的练习中所列的表中填上这个函数及其对应值,然后画出它的图像,同样找一名同学板演.

 学生画完,教师总结完之后,让学生观察黑板上画出的四条抛物线,提问:

 (1)你能否指出抛物线 的开口方向,对称轴,顶点坐标?

 将在上面练习中三条抛物线的性质填入所列的有中,如下表:

抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标

向下

(0,0)

向下

(0,-1)

向下

(-1,0)

向下

(-1,-1)

 (2)我们已知抛物线的开口方向是由二次函数 中的a的值决定的,你能通过上表中的特征,试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗?

 这个问题由于是本节课的重点问题,而且不是很容易说清楚,可由学生进行广泛的讨论,先得出对称员的表示方法,再得出顶点坐标。若学生在讨论时没有头绪,教师可适当引导,让学生把这四个函数都改写成 的形式,可得  

 

  。然后从这四个式子中加以观察,分析,得出结论;(板书)

 一般地,抛物线 有如下特点:

 ① 时,开口向上; 时,开口向下;

 ②对称轴是直线

 ③顶点坐标是

 (3)抛物线 有什么关系?

 答:形状相同,位置不同。

 (4)它们的位置有什么关系?

 这个问题可视学生的程度来决定问还是不问,以及回答到什么程度。

 根据上节课的学习,学生能想到是平移科来的,可把这四个图像分成以下几个问题来讨论:①抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的?

 ②抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的?

 ③抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的?

 ④抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的?

 ⑤抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的?

 这个问题分两种方式回答:先沿 轴,再沿 轴移动;或先沿 轴,再沿 轴移动。

 通过这5个问题可使学生由浅入深地得到这四者之间的关系,如图所示:

 注意:基本形式中的符号,特别是h

 练习:P120练习口答,及时纠正错误。

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