4、已知二次函数的顶点是(2,-1),且与y轴的交点到原点的距离是2,则这个二次函数的解析式是____________.
3、抛物线 与x轴的交点的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.由m值决定
2、函数 和
在同一坐标系中的图象大致为(
)
1、函数 的图象可能是( )
3、使学生参与教学过程,通过主体的积极思维,体验感悟数学.逐步建立数学的观念,培养学生独立地获取知识的能力.
教学重点:初步理解数形结合的数学思想
教学难点:初步理解数形结合的数学思想
教学用具:微机
教学方法:探究式、小组合作学习
教学过程:
例1、已知:抛物线y=x2-(m2-1)x-2m2-2
⑴求证:无论m取什么实数,抛物线与x轴一定有两个交点
⑵m取什么实数时,两交点间距离最短?是多少?
解:
△ = (m2-1)2+4(2m2+2)
= m4-2m2+1+8m2+8
= m4+6m2+9
= (m2+3)2
m2≥0
∴m2+3>0
∴△>0
∴抛物线与x轴有两个交点
问题:为什么说当△>0时,抛物线y = ax2+bx+c与x轴有两个交点.(能否从数和形两方面说明)
设计意图:在课堂上创设让学生说数学的机会,学会合作学习,以达到①经验共享,在思维的碰撞中共同提高.②学会合作,消除个人中心.③发现自我,提高参与度.④弘扬个体的主体性,形成健康,丰富的个性.
数:点在曲线上,点的坐标满足曲线的方程.反之,曲线方程的每一个实数解对应的点都在曲线上.抛物线与x轴的交点,既在抛物线上,又在x轴上.所以交点的坐标既满足抛物线的解析式,也满足x轴的解析式.设交点坐标为(x,y)
∴
这样交点问题就转化成求这个二元二次方程组的解.代入y = 0,消去y,转化成ax2+bx+c=0这个一元二次方程求根问题.根据以前学过的知识,当△>0时, ax2+bx+c=0有两个不相等的实根.∴y = ax2+bx+c
y = 0
有两个不等的实数解
∴抛物线与x轴交于两个不同的点.
形:顶点在x轴上方,且开口向下.或者顶点在x轴下方,且开口向上.
设计意图:渗透解析几何的基本思想
使学生掌握转化思想使学生在解题过程中,感知数学的直观性和形式化这二重性.掌握数形结合,分类讨论的思想方法.逐步学会数学的思维.
转化成代数语言为:
小结:第一种方法,根据解析几何的基本思想.将求曲线的交点问题,转化成求方程组的解的问题.
第二种方法,借助于图象思考问题,比较直观.发现规律后,再用数学的符号语言将其形式化.这既体现了数学中的数形结合的思想方法,也是探索解数学问题的一般方法.
思考:试从数、形两方面说明抛物线与x轴的交点个数与判别 式的符号的关系.
设计意图:数学学习是一个再创造的过程,不能等同于数学知识的汇集,而要让学生经历数学知识的创造过程.使主体积极地参与到学习中去.以数学知识为载体,揭示出蕴涵于其中的数学思想方法,逐步形成数学观念.
⑵m取什么实数时,两交点间距离最短?是多少?
解:设二次函数与x轴的两交点为(x1,0),(x2,0)
解法㈠ 由⑴可知m为任何实数时, 都有△>0
解①
∴ x1+x2=m2-1
x1·x2=-2(m2+1)
∴│x2-x1│=
=
=
=
= m2+3
∴当m =0时,两交点最小距离为3
这里两交点间距离是m的函数
设计意图:培养学生的问题意识.在解题过程中,发现问题,并能运用已有的数学知识,将其一般化,形式化,解决问题,体会数学问题解决的一般方法.培养学生独立地获取数学知识的能力.渗透函数思想
问题: 观察本题两交点间距离与判别式的值之间有何异同?具有一般的规律吗?如何说明.
设x1、x2 为ax2+bx+c = 0的两根
可以推出:
还可以理解为顶点到x轴距离最短.
设计意图:在对比、分析中,明确概念,揭示知识间的联系,帮助学生建立良好的认知结构.
小结:观察这道题的结论,我们猜测出规律,将其一般化,推导出这个公式,这是学习数学知识的一般方法.
解法㈡:用十字相乘法或求根公式法求根.
思考:一元二次方程与二次函数的关系.
思考:求m取什么实数时,y = x2-(m2-1)x -2 m2-2被直线y = 2所截得的线段最短?是多少?
练习:
观察函数 的图象,回答:
(1)y>0时,x的取值范围如何?
(2)y=0时,x取什么值?
(1)y<0时,x的取值范围如何?
小结:数与形是数学中相互依赖的两个方面.图形比较直观,可以启发思路;而数学的严格证明也是必不可少的.直观性和形式化是数学的两重性.
2、渗透解析几何,数形结合,函数等数学思想.培养学生发现问题解决问题,及逻辑思维的能力.
1、使学生进一步理解二次函数的基本性质;
教材P124中1(3);P124中3(1)、(2);P125中
(四)总结、扩展
一般的二次函数,都可以变形成 的形式,其中:
1.a能决定什么?怎样决定的?
答:a的符号决定抛物线的开口方向;a的绝对值大小抛物线的开口大小。
2.它的对称轴是什么?顶点坐标是什么?
首先,我们先来复习一下前面学习的一些有关知识.(出示幻灯)
请你在同一直角坐标系内,画出函数 的图像,并指出它们的开口方向,对称轴及顶点坐标.
这里之所以加上画函数 的图像,是为了使最后通过图像的观察能更全面一些,也更直观一些,可以同时给出图像先沿y轴,再沿
轴移动的方式,也可以给出图像
先沿 轴再沿y轴移动的方式,使这部分知识能更全面,知识与知识之间的联系能更清晰、更具体.
画这三个函数图像,可由学生在同一表中列值,但是要根据各自的不同特点取自变量
的值,以便于学生进行观察.教师可事先准备好表格和画有直角坐标系的小黑板,由一名同
学上黑板完成,其他同学在练习本上完成,待同学们基本做完之后加以总结,然后再找三名
同学,分别指出这三个图像的开口方向、对称轴及顶点坐标,填入事先准备好的表格中.
然后提问:你能否在这个直角坐标系中,再画出函数 的图像?
由于前面几节课我们已经画了不少二次函数的图像,学生对画图已经有了一定的经验,
同时可在画这个图时,把这些经验形成规律,便于学生以后应用.
(l)关于列表:主要是合理选值与简化运算的把握,是教学要点.在选值时,首先要考虑的是函数图像的对称性,因此首先要确定中心值,然后再左,右取相同间隔的值;其次,选值时尽量选取整数,便于计算和描点.
在选取 的值之后,计算y的值时,考虑到对称性,只需计算中心值一侧的值,另一侧由对称性可直接填入,但一定要保证运算正确.
(2)关于描点:一般可先定顶点(即中心值对应的点,然后利用对称性描出各点,以逐步提高速度.)
(3)关于连线:特别要注意顶点附近的大致走向。最后画的抛物线应平滑,对称,并符合抛物线的特点.
由学生在上面的练习中所列的表中填上这个函数及其对应值,然后画出它的图像,同样找一名同学板演.
学生画完,教师总结完之后,让学生观察黑板上画出的四条抛物线,提问:
(1)你能否指出抛物线 的开口方向,对称轴,顶点坐标?
将在上面练习中三条抛物线的性质填入所列的有中,如下表:
抛物线 |
开口方向 |
对称轴 |
顶点坐标 |
![]() |
向下 |
![]() |
(0,0) |
![]() |
向下 |
![]() |
(0,-1) |
![]() |
向下 |
![]() |
(-1,0) |
![]() |
向下 |
![]() |
(-1,-1) |
(2)我们已知抛物线的开口方向是由二次函数 中的a的值决定的,你能通过上表中的特征,试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗?
这个问题由于是本节课的重点问题,而且不是很容易说清楚,可由学生进行广泛的讨论,先得出对称员的表示方法,再得出顶点坐标。若学生在讨论时没有头绪,教师可适当引导,让学生把这四个函数都改写成 的形式,可得
;
。然后从这四个式子中加以观察,分析,得出结论;(板书)
一般地,抛物线 有如下特点:
① 时,开口向上;
时,开口向下;
②对称轴是直线 ;
③顶点坐标是 。
(3)抛物线 有什么关系?
答:形状相同,位置不同。
(4)它们的位置有什么关系?
这个问题可视学生的程度来决定问还是不问,以及回答到什么程度。
根据上节课的学习,学生能想到是平移科来的,可把这四个图像分成以下几个问题来讨论:①抛物线 是由抛物线
怎样移动得到的?
②抛物线 是由抛物线
怎样移动得到的?
③抛物线 是由抛物线
怎样移动得到的?
④抛物线 是由抛物线
怎样移动得到的?
⑤抛物线 是由抛物线
怎样移动得到的?
这个问题分两种方式回答:先沿 轴,再沿
轴移动;或先沿
轴,再沿
轴移动。
通过这5个问题可使学生由浅入深地得到这四者之间的关系,如图所示:
注意:基本形式中的符号,特别是h。
练习:P120练习口答,及时纠正错误。
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com