2.数形结合法

数形结合法是指将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法.数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用.

例3　 如图11－55所示，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，如果A点的坐标为A(2，0)，且OA=OB，试求一次函数的解析式.

(分析)通过观察图象可以看出，要确定一次函数的关系式，只要确定B点的坐标即可，因为OB=OA=2，所以点B的坐标为(0，-2)，再结合A点坐标，即可求出一次函数的关系式.

解：设一次函数的关系式为y=kx+b(k,b为常数，且k≠0).

∵OA=OB，点A的坐标为(2，0),

∴点B的坐标为(0，-2).

∵点A，B的坐标满足一次函数的关系式y=kx+b，

∴　 ∴

∴一次函数的关系式为y=x-2.

[说明]　 利用函数图象研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用，在解决有关函数问题时有着重要的作用.

1.函数方法

函数方法就是应用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，抽象升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法，函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题.

例1　 利用图象解二元一次方程组

(分析)方程组中的两个方程均为关于x,y的二元一次方程，可以转化为y关于x的函数.由①得y=2x-2，由②得y=-x-5，实质上是两个y关于x的一次函数，在平面直角坐标系中画出它们的图象，可确定它们的交点坐标，即可求出方程组的解.

解：由①得y=2x-2，

由②得y=-x-5.

在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x-2，y=-x-5的图象如图11-54所示.

观察图象可知，直线y=2x-2与直线y=-x-5的交点坐标是(-1，-4).

∴原方程组的解是

小结　 解方程组通常用消元法.但如果把方程组中的两个方程看作是两个一次函数，画出这两个函数的图象，那么它们的交点坐标就是方程组的解.

例2　 我国是一个严重缺水的国家，大家应该倍加珍惜水资源，节约用水，据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0.05mL.小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开x小时后，水龙头滴了ymL水.

(1)试写出y与x之间的函数关系式；

(2)当滴了1620mL水时，小明离开水龙头几小时？

(分析)已知拧不紧的水龙头每秒滴2滴水，又∵1小时=3600秒，∴1小时滴水3600×2滴，又∵每滴水约0.05mL，∴每小时约滴水3600×2×0.05＝360mL.

解：(1)y与x之间的函数关系式为x=360x(x≥0).

(2)当y=1620时，有360x=1620，

∴x=4.5.

∴当滴了1620mL水时，小明离开水龙头4.5小时.

5.能灵活运用一次函数的图象解决实际问题.

例1　 一报亭从报社订购某晚报的价格是每份0．7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸还可以以每份0．2元的价格退回报社，在一个月内(以30天计算)有20天每天可以卖出100份，其余10天每天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若以报亭每天从报社订购报纸的份数为自变量x，每月所获利润为y(元)．

(1)写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；

(2)报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？

[分析]　 (1)先确定x的取值范围，60≤x≤100，且x是正整数，然后列出函数表达式．

(2)利用一次函数的性质求出最大利润．

解：(1)若报亭每天从报社订购晚报x份，

则x应满足60≤x≤100，且x是正整数．

则每月共销售(20x+10×60)份，退回报社10(x-60)份．

又因为卖出的报纸每份获利0．3元，退回的报纸每份亏损0．5元，所以每月获得的利润为，

y=0．3(2Ox十10×6O)一0.5×1O(x-6O)=x十48O．

自变量x的取值范围是60≤x≤100，且x是正整数．

(2)∵当60≤x≤100时，y随x的增大而增大，

∴当x=100时，y有最大值．

y_最大值=100+480=580(元)．

∴报亭应该从报社订购100份报纸，才能使每月获得的利润最大，最大利润是580元．

小结　 解有关一次函数的应用题要注意运用数形结合的方法综合分析问题，将所学知识灵活运用，融会贯通，同时还要特别注意自变量的取值范围的限制，它是解决问题的关键之一．

例2　 拖拉机耕地时，每小时的耗油量假定是个常量，已知拖拉机耕地2小时油箱中余油28升，耕地3小时油箱中余油22升．

(1)写出油箱中余油量Q(升)与工作时间t(时)之间的函数关系式；

(2)画出函数图象；

(3)这台拖拉机工作3小时后，油箱中的油还够拖拉机继续耕地几小时？

(分析)由两组对应量可求出函数关系式，再画出图象(在自变量取值范围内).

解：(1)设函数关系式为Q=kt+b(k≠0).

由题意可知，

∴余油量Q与时间t之间的函数关系式是

Q=-6t+40.∵40-6t≥0, ∴t≤.

∴自变量t的取值范围是0≤t≤.

(2)当t=0时，Q=40；当t=时，Q=0.

得到点(0，40),(,0).

连接两点，得出函数Q=-6t+40(0≤t≤)的图象，如图11-53所示.

(3)当Q=0时，t=，那么-3=3(时).

∴拖拉机还能耕地3小时，即3小时40分.

小结　 运用一次函数图象及其性质可以帮助我们解决实际生活中的许多问题，如利润最大、成本最小、话费最省、最佳设计方案等问题，我们应善于总结规律，达到灵活运用的目的.

4．会求一次函数的表达式.

3．结合一次函数的图象，熟练掌握一次函数和正比例函数的性质.

2．熟练掌握一次函数和正比例函数的概念．

1．结合实例理解函数的概念．

专题总结及应用

在本章的学习中，要逐步透彻理解函数的概念，在理解的基础上掌握一次函数图象的性质，注意在解决问题过程中充分体会和运用数形结合的思想，除此之外，还要注意函数与方程、不等式、几何知识的内在联系，把一次函数的知识与其他学科有机地结合起来．

(二)、一次函数和正比例函数的图象和性质

函数	图　 象	性　 质
一 次 函 数 y=kx +b (k≠0)	过点(0，b)且平行于y=kx的一条直线	(1)当k＞0时，y随x的增大而增大，图象必过第一、三象限； ①当b＞0时，过第一、二、三象限； ②当b=0时，只过第一、三象限； ③当b＜0时，过第一、三、四象限. (2)当k＜0时，y随x的增大而减小，图象必过第二、四象限. ①当b＞0时，过第一、二、四象限； ②当b=0时，只过第二、四象限； ③当b＜0时，过第二、三、四象限
正 比 例 函 数 y=kx (k≠0)	过原点的一条直线	图象过原点. (1)当k＞0，y随x的增大而增大，图象必过第一、三象限； (2)当k＜0时，y随x的增大而减小，图象必过第二、四象限