0  208696  208704  208710  208714  208720  208722  208726  208732  208734  208740  208746  208750  208752  208756  208762  208764  208770  208774  208776  208780  208782  208786  208788  208790  208791  208792  208794  208795  208796  208798  208800  208804  208806  208810  208812  208816  208822  208824  208830  208834  208836  208840  208846  208852  208854  208860  208864  208866  208872  208876  208882  208890  447090 

19.3 .1 梯形(一)

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3.已知:如图,正方形ABCD中,E为BC上一点,AF平分∠DAE交CD于F,求证:AE=BE+DF.

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2.已知:如图,△ABC中,∠C=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC于E,DF⊥AC于F.求证:四边形CFDE是正方形.

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1.已知:如图,点E是正方形ABCD的边CD上一点,点F是CB的延长线上一点,且DE=BF.

求证:EA⊥AF.

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4.如图,E为正方形ABCD内一点,且△EBC是等边三角形,

求∠EAD与∠ECD的度数.

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3.  已知:如图,四边形ABCD为正方形,E、F分别

为CD、CB延长线上的点,且DE=BF.

求证:∠AFE=∠AEF.

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2.下列说法是否正确,并说明理由.

①对角线相等的菱形是正方形;(  )

②对角线互相垂直的矩形是正方形;(  )

③对角线垂直且相等的四边形是正方形;(  )

④四条边都相等的四边形是正方形;(  )

⑤四个角相等的四边形是正方形.(  )

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1.正方形的四条边____  __,四个角___  ____,两条对角线____  ____.

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例1(教材P111的例4) 求证:正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

已知:四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O(如图).

求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.

证明:∵  四边形ABCD是正方形,

∴  AC=BD, AC⊥BD,

AO=CO=BO=DO(正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分).

∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,

并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO.

  例2 (补充)已知:如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于G,DG交OA于F.

求证:OE=OF.

   分析:要证明OE=OF,只需证明△AEO≌△DFO,由于正方形的对角线垂直平分且相等,可以得到∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO,再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO,根据ASA可以得到这两个三角形全等,故结论可得.

   证明:∵  四边形ABCD是正方形,

∴  ∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO(正方形的对角线垂直平分且相等).

又  DG⊥AE, ∴  ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°.

∴  ∠EAO=∠FDO.

∴  △AEO ≌△DFO.

∴  OE=OF.

 例3 (补充)已知:如图,四边形ABCD是正方形,分别过点A、C两点作l1l2,作BM⊥l1于M,DN⊥l1于N,直线MB、DN分别交l2于Q、P点.

求证:四边形PQMN是正方形.

分析:由已知可以证出四边形PQMN是矩形,再证△ABM≌△DAN,证出AM=DN,用同样的方法证AN=DP.即可证出MN=NP.从而得出结论.

证明:∵  PN⊥l1,QM⊥l1

∴  PN∥QM,∠PNM=90°.

∵  PQ∥NM,

∴  四边形PQMN是矩形.

∵  四边形ABCD是正方形

∴  ∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=DC(正方形的四条边都相等,四个角都是直角).

∴  ∠1+∠2=90°.

又  ∠3+∠2=90°,  ∴  ∠1=∠3.

∴  △ABM≌△DAN.

∴  AM=DN.  同理  AN=DP.

∴  AM+AN=DN+DP

即  MN=PN.

∴  四边形PQMN是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).

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2.[问题]正方形有什么性质?

由正方形的定义可以得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形.

所以,正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质.

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同步练习册答案