3.若,是方程的两个根,则= .
2.已知方程有两个相等的实数根,则m的值为 .
1.已知方程的一个根是1,则m的值是 .
22.3 实际问题与一元二次方程
教学任务分析
教学目标 |
知识技能 |
1.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型. 2.能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理. |
数学思考 |
经历将实际问题抽象为代数问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对之进行描述. |
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解决问题 |
通过解决封面设计与草坪规划的实际问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,体验解决问题策略的多样性,发展实践应用意识. |
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情感态度 |
通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学生学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. |
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重点 |
列一元二次方程解有关问题的应用题. |
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难点 |
发现问题中的等量关系. |
教学流程安排
活动流程图 |
活动内容和目的 |
活动1 复习,回顾解应用题的一般步骤 活动2 封面设计问题 活动3 草坪规划问题 活动4 小结,布置作业 |
回顾解应用题的一般步骤及注意问题. 对比几种方案,探究问题中的数量关系及其变化,活跃思维,提高解题能力. 巩固的同时认识图形变换对解题思路的影响,熟悉面积问题应用题的基本思路和方法. 回顾,总结,提高知识的系统性. |
教学过程设计
问题与情境 |
师生行为 |
设计意图 |
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「活动1」 问题: 通过上节课的学习,大家学到了哪些知识和方法? |
教师提出问题,学生回忆,选一位同学作答,其他同学补充. 活动1中教师应注意: (1)学生对列方程解应用问题的步骤是否清楚; (2)学生能否说出每一步骤的关键和应注意问题. |
活动1为学生创设了一个回忆、思考的情境,又是本课一种很自然的引入,为本课的探究活动做好铺垫. |
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「活动2」 要设计一本书的封面,封面长27 cm ,宽21 cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上下边衬等宽,左右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm). (课件:设计封面) 问题: (1)本题中有哪些数量关系? (2)如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形”? (3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程? |
教师展示课件“设计封面”, 请一位同学朗读题目. 教师提出问题(1). 学生分析,请一位同学回答,教师在题目中指出数量关系. 教师提出问题(2). 学生思考,请一位同学回答,可举简单例子说明,最后引导学生得出正中央矩形的长宽比是9∶7. 教师提出问题(3). 学生分组讨论,选代表上台演示、回答,每位同学要着重分析对题目中的数量关系的处理方法.其中,设左右边衬和上下边衬为7x和9x的方法,教师要配合图形的平移加以电脑演示. |
问题(1)(2)都是帮助学生更好地理解题意,为后面的解题做铺垫. 问题(3)是活动2的中心环节,通过学生充分的讨论,得出多种不同的方法,激发学生的学习热情,使学生体会解决问题的方法多样性. 在某些解法中,利用图形变换简化数量关系 |
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(4)解方程并得出结论,对比几种方法各有什么特点? |
教师提出问题 学生分组,分别按问题(3)中所列的方程来解答,选代表展示解答过程,并讲解解题过程和应注意问题. 在活动2中,教师应注意: (1)学生对几何图形的分析能力; (2)学生在未知数的选择上,能否根据情况,灵活处理; (3)在讨论中能否互相合作; (4)解答一元二次方程的能力; (5)学生回答问题时的语言表达是否准确. |
是解决图形有关问题的一种重要手段,为活动3埋下一个伏笔. 问题(4)可以使学生体会列方程与解方程的完整结合,通过多种方法解得相同结 论,验证多种方法的正确性;通过解题过程的对比,体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响,丰富解题经验. |
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「活动3」 如图,某中学为方便师生活动,准备在长30 m,宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路,横纵路的宽度之比为3∶2,若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三,则路宽应为多少? 问题: (1) 本题中有哪些数量关系? (2)由这些数量关系还能得到什么新的结论?你想如何利用这些数量关系?为什么?如何列方程? (3)对比下列两个图形,它们有什么联系与区别? |
教师展示课件:设计图案 请一位同学朗读题目. 教师提出问题(1). 学生回答,教师在题目中指出. 教师提出问题(2). 学生思考.因为有活动2的基础,选一位同学回答这一组问题的前3问即可,如有不完全的地方,教师适当补充.第(4)问让大家适当思考,请同学回答,教师做屏幕演示,特别提醒学生:剩余草坪的面积,是否就是原草坪的面积减去四条路的面积?以引导学生注意道路重叠部分的处理. 教师提出问题(3). 学生分组讨论,教师指导.引领学生讨论后请一位同学回答. 教师引领学生发现两个图形都存在两横两纵四个矩形,并都有四处重叠部分,但除此之外的剩余部分,第一个图是一个完整的矩形,易于表示;而第二个图中分为9块,所以不容易表示. |
在活动2中,学生通过探究与讨论,感受了对题目中的数量关系进行适当的转变对解题的影响,活跃了解题思路. 活动3的设计就是基于这个前提,首先使同学熟悉活动2中的解题思想,在数量关系中做进一步的分析,然后引导学生针对图形作进一步的探究. 问题(1)(2)是针对活动2的巩固性练习.但是由于本题的数量关系变形的空间比较狭窄,经过解析之后依然不能得到比较满意的答案.由此激发学生进一步探究的热情. 问题(3)是活动3的中心环节,以图形对比的问题为引导,通过对比两个图形的联系与区别,启发学生以活动2中的封面问题为模型,构建活动3中的草坪问题的解题思路. |
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(4)有什么方法使本题易于解决? |
教师提出问题(4) 学生分组讨论,画图,上台演示. 教师与学生一起评价,总结图形变换的基本原则. 在活动2中,教师应注意: (1)学生在活动1中的学习效果; (2)使学生充分体会图形变换的灵活性; (3)学生对图形的观察、联想能力; (4)教师要强调图形变换中图形改变、位置改变、关键量不变的原则. |
在学生充分思考之后,学生会自然产生动手实践的欲望,教师可以给学生一定的空间去发挥想象,同时也要注意对图形变换的指导,可以对部分不太合适的答案也进行一下点评. |
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「活动4」 问题:通过本课的学习,大家有什么新的收获和体会? |
教师提出问题,学生回答. 教师总结. 在活动4中,教师应注意: (1)对知识的归纳,总结,整理能力; (2)知识的横向联系能力以及能否熟练、准确地运用数学语言表达数学思想. |
点明本课主题和中心环节,使学生巩固知识,加深印象,知识脉络清晰. |
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布置作业: 教科书53页,习题22.3第5、8题,教科书58页,复习题22第7、10题. |
学生独立完成作业,教师批该后应关注: (1)能否正确分析等量关系; (2)能否有效变换图形,简化题意; (3)解题思路是否完整,解题过程是否规范. |
学生巩固,提高. |
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22.2.3 因式分解法
教学任务分析
教学目标 |
知识技能 |
1.应用分解因式法解一些一元二次方程. 2.能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法. |
数学思考 |
体会“降次”化归的思想. |
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解决问题 |
能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性. |
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情感态度 |
使学生知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法,它避免了复杂的计算,提高了解题速度和准确程度. |
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重点 |
应用分解因式法解一元二次方程. |
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难点 |
灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程. |
教学流程安排
活动流程图 |
活动内容和目的 |
活动1 解方程 活动2 解方程 活动3 利用解方程的知识解决实际问题 活动4 小结,布置作业 |
创设问题情境,激发学生兴趣,引出本节内容. 主体探究、灵活运用各种方法解方程,培养学生思维的灵活性. 应用提高、拓展创新,培养学生的应用意识和创新能力. 培养学生的归纳总结能力. |
教学过程设计
问题与情境 |
师生行为 |
设计意图 |
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「活动1」 解下列方程,从中你能发现什么新的方法? (1)2x2-4x=0; (2)x2-4=0. |
在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法,感受因式分解的作用以及能够解方程的依据. 归纳:利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫作因式分解法. |
创设问题情境,激发学生兴趣,引出本节内容. |
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问题与情境 |
师生行为 |
设计意图 |
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「活动2」 通过解下列方程,你能发现在解一元二次方程的过程中需要注意什么? (1); (2); (3); (4). |
学生活动设计: 四个学生进行板演,其余的同学独立解决,然后针对板演的情况让学生讨论、分析可能出现的问题. 对于方程(1),若把(x-2)看作一个整体,方程可变形为(x-2)(x+1)=0; 方程(2)经过整理得到,然后利用平方差公式分解因式; 方程(3)的右边分解因式后变为,然后整体移项得到,把(2x-1)看作一个整体提公因式分解即可; 方程(4)把方程右边移到左边,利用平方差公式分解即可. 教师活动设计: 在学生交流的过程中,教师注重对上述方程的多种解法的讨论,比如方程(1)可以首先去括号,然后利用公式法和配方法;方程(3)可以去括号、移项、合并然后运用公式法或配方法;方程(4)可以利用完全平方公式展开,然后移项合并,再利用配方法或公式法. 在学生解决问题的基础上,对比配方法、公式法、因式分解法引导学生作以下归纳: (1)配方法要先配方,再降次;通过配方法可以推出求根公式,公式法直接利用求根公式;因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有的一元二次方程,因式分解法用于某些一元二次方程. (2)解一元二次方程的基本思路是:将二次方程化为一次方程,即降次. |
主体探究、灵活运用各种方法解方程,培养学生思维的灵活性. |
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问题与情境 |
师生行为 |
设计意图 |
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「活动3」 问题: 1.根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么经过x s物体离地面的高度(单位:m)为 . 你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗?(课件:竖直上抛的物体) 2.已知关于的方程,取何值时, (1)方程有两个不相等的实数根; (2)方程有两个相等的实数根,并求出这两个等根; (3)方程没有实数根. 「活动4」 归纳总结、布置作业. 归纳总结:利用因式分解法可以方便快捷地解一些一元二次方程. 作业:习题22.2第5-8题. |
师生活动设计: 学生经过独立思考,分析问题、解决问题,教师在学生解决问题的过程中鼓励学生运用多种方法解方程,然后让学生体会不同方法间的区别,找到解方程的最佳方法,体会因式分解法的简洁性. 学生活动设计:学生通过探索以上问题的解决过程,体验(1)只能判断一元二次方程的根的情况; (2)利用可以确定方程的待定系数. . (1)要使方程有两个不等实根,只需,即 当时,方程有两个不等的实根. (2)(3)略 学生回答问题; |
应用提高、拓展创新,培养学生的应用意识和创新能力. 培养学生的归纳总结能力. |
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20.一容器装满了含盐量为20%的盐水50升,第一次倒出若干升,用水加满; 第二次又倒出同样多,再用水加满,此时容器中盐水的含盐量为12.8%,求每次倒出的盐水是多少升?
19.一个长方形水池,长88米,宽48米,沿池边四周有一条宽度相同的路, 已知这条路的面积是1776平方米,求路的宽度.
23.已知x和x2为一元二次方程2x2-2x+3m-1=0的两个实数根,并且x1和x2满足不等式 ,试求m的取值范围.
22.已知关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-2=0.
(1)求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.
(2)设x1,x2是方程的根,且 x12-2kx1+2x1x2=5,求k的值.
21.已知: , 求以 的值为根的一元二次方程.
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