3．若，是方程的两个根，则＝　　　　　 ．

2．已知方程有两个相等的实数根，则m的值为　　　　　　 ．

1．已知方程的一个根是1，则m的值是　　　　　　 ．

22.3　 实际问题与一元二次方程

　　　　　　　　　　　　　　　　 教学任务分析

教学流程安排

教学过程设计

问题与情境	师生行为	设计意图
「活动1」 问题： 通过上节课的学习，大家学到了哪些知识和方法？	教师提出问题，学生回忆，选一位同学作答，其他同学补充． 活动1中教师应注意： (1)学生对列方程解应用问题的步骤是否清楚； (2)学生能否说出每一步骤的关键和应注意问题．	活动1为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫．
「活动2」 要设计一本书的封面，封面长27 cm ,宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm). (课件：设计封面) 　 问题： (1)本题中有哪些数量关系？ (2)如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形”？ (3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？	教师展示课件“设计封面”， 请一位同学朗读题目． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 教师提出问题(1)． 学生分析，请一位同学回答，教师在题目中指出数量关系． 教师提出问题(2)． 学生思考，请一位同学回答，可举简单例子说明，最后引导学生得出正中央矩形的长宽比是9∶7． 教师提出问题(3)． 学生分组讨论，选代表上台演示、回答，每位同学要着重分析对题目中的数量关系的处理方法．其中，设左右边衬和上下边衬为7x和9x的方法，教师要配合图形的平移加以电脑演示．	问题(1)(2)都是帮助学生更好地理解题意，为后面的解题做铺垫． 问题(3)是活动2的中心环节，通过学生充分的讨论，得出多种不同的方法，激发学生的学习热情，使学生体会解决问题的方法多样性． 在某些解法中，利用图形变换简化数量关系
(4)解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？	教师提出问题 学生分组，分别按问题(3)中所列的方程来解答，选代表展示解答过程，并讲解解题过程和应注意问题． 在活动2中，教师应注意： (1)学生对几何图形的分析能力； (2)学生在未知数的选择上，能否根据情况，灵活处理； (3)在讨论中能否互相合作； (4)解答一元二次方程的能力； (5)学生回答问题时的语言表达是否准确．	是解决图形有关问题的一种重要手段，为活动3埋下一个伏笔． 问题(4)可以使学生体会列方程与解方程的完整结合，通过多种方法解得相同结 论，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验．
「活动3」 如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？ 问题： (1)　　 本题中有哪些数量关系？ (2)由这些数量关系还能得到什么新的结论？你想如何利用这些数量关系？为什么？如何列方程？ (3)对比下列两个图形，它们有什么联系与区别？	教师展示课件：设计图案 请一位同学朗读题目． 　 　 　 　 　 　 　 　 教师提出问题(1)． 学生回答，教师在题目中指出． 教师提出问题(2)． 学生思考．因为有活动2的基础，选一位同学回答这一组问题的前3问即可，如有不完全的地方，教师适当补充．第(4)问让大家适当思考，请同学回答，教师做屏幕演示，特别提醒学生：剩余草坪的面积，是否就是原草坪的面积减去四条路的面积？以引导学生注意道路重叠部分的处理． 教师提出问题(3)． 　 　学生分组讨论，教师指导．引领学生讨论后请一位同学回答． 教师引领学生发现两个图形都存在两横两纵四个矩形，并都有四处重叠部分，但除此之外的剩余部分，第一个图是一个完整的矩形，易于表示；而第二个图中分为9块，所以不容易表示．	在活动2中，学生通过探究与讨论，感受了对题目中的数量关系进行适当的转变对解题的影响，活跃了解题思路． 活动3的设计就是基于这个前提，首先使同学熟悉活动2中的解题思想，在数量关系中做进一步的分析，然后引导学生针对图形作进一步的探究． 问题(1)(2)是针对活动2的巩固性练习．但是由于本题的数量关系变形的空间比较狭窄，经过解析之后依然不能得到比较满意的答案．由此激发学生进一步探究的热情． 问题(3)是活动3的中心环节，以图形对比的问题为引导，通过对比两个图形的联系与区别，启发学生以活动2中的封面问题为模型，构建活动3中的草坪问题的解题思路．
(4)有什么方法使本题易于解决？	教师提出问题(4) 学生分组讨论，画图，上台演示． 教师与学生一起评价，总结图形变换的基本原则． 在活动2中，教师应注意： (1)学生在活动1中的学习效果； (2)使学生充分体会图形变换的灵活性； (3)学生对图形的观察、联想能力； (4)教师要强调图形变换中图形改变、位置改变、关键量不变的原则．	在学生充分思考之后，学生会自然产生动手实践的欲望，教师可以给学生一定的空间去发挥想象，同时也要注意对图形变换的指导，可以对部分不太合适的答案也进行一下点评．
「活动4」 问题：通过本课的学习，大家有什么新的收获和体会？	教师提出问题，学生回答． 教师总结． 在活动4中，教师应注意： (1)对知识的归纳，总结，整理能力； (2)知识的横向联系能力以及能否熟练、准确地运用数学语言表达数学思想．	点明本课主题和中心环节，使学生巩固知识，加深印象，知识脉络清晰．
布置作业： 教科书53页，习题22.3第5、8题，教科书58页，复习题22第7、10题．	学生独立完成作业，教师批该后应关注： (1)能否正确分析等量关系； (2)能否有效变换图形，简化题意； (3)解题思路是否完整，解题过程是否规范．	学生巩固，提高．

22.2.3 因式分解法

　　　　　　　　　　　　　　　　 教学任务分析

教学流程安排

教学过程设计

问题与情境	师生行为	设计意图
「活动1」 解下列方程，从中你能发现什么新的方法？ (1)2x2-4x＝0；　　　　　 　　　 (2)x2-4＝0．	在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据． 归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．	创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容．
问题与情境	师生行为	设计意图
「活动2」 通过解下列方程，你能发现在解一元二次方程的过程中需要注意什么？ (1)； (2)； (3)； (4)．	学生活动设计： 四个学生进行板演，其余的同学独立解决，然后针对板演的情况让学生讨论、分析可能出现的问题． 对于方程(1)，若把(x－2)看作一个整体，方程可变形为(x－2)(x+1)＝0； 方程(2)经过整理得到，然后利用平方差公式分解因式； 方程(3)的右边分解因式后变为，然后整体移项得到，把(2x－1)看作一个整体提公因式分解即可； 方程(4)把方程右边移到左边，利用平方差公式分解即可． 教师活动设计： 在学生交流的过程中，教师注重对上述方程的多种解法的讨论，比如方程(1)可以首先去括号，然后利用公式法和配方法；方程(3)可以去括号、移项、合并然后运用公式法或配方法；方程(4)可以利用完全平方公式展开，然后移项合并，再利用配方法或公式法． 在学生解决问题的基础上，对比配方法、公式法、因式分解法引导学生作以下归纳： (1)配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程． (2)解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．	主体探究、灵活运用各种方法解方程，培养学生思维的灵活性．
问题与情境	师生行为	设计意图
「活动3」 问题： 1．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度(单位：m)为 ． 你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？(课件：竖直上抛的物体) 　 　 2．已知关于的方程，取何值时， (1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根，并求出这两个等根； (3)方程没有实数根． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 「活动4」 归纳总结、布置作业． 归纳总结：利用因式分解法可以方便快捷地解一些一元二次方程． 作业：习题22．2第5-8题．	师生活动设计： 学生经过独立思考，分析问题、解决问题，教师在学生解决问题的过程中鼓励学生运用多种方法解方程，然后让学生体会不同方法间的区别，找到解方程的最佳方法，体会因式分解法的简洁性． 　 　 　 　 　 　 学生活动设计：学生通过探索以上问题的解决过程，体验(1)只能判断一元二次方程的根的情况；　　 (2)利用可以确定方程的待定系数． ． (1)要使方程有两个不等实根，只需，即 　当时，方程有两个不等的实根． 　 (2)(3)略 　 　 　 学生回答问题；	应用提高、拓展创新，培养学生的应用意识和创新能力． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 培养学生的归纳总结能力．

20.一容器装满了含盐量为20%的盐水50升,第一次倒出若干升,用水加满; 第二次又倒出同样多,再用水加满,此时容器中盐水的含盐量为12.8%,求每次倒出的盐水是多少升?

19.一个长方形水池,长88米,宽48米,沿池边四周有一条宽度相同的路, 已知这条路的面积是1776平方米,求路的宽度.

23.已知x­和x₂为一元二次方程2x²-2x+3m-1=0的两个实数根,并且x₁和x₂满足不等式 ,试求m的取值范围.

22.已知关于x的一元二次方程x²-2kx+k²-2=0.

　　 (1)求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.

　　 (2)设x₁,x₂是方程的根,且 x₁²-2kx₁+2x₁x₂=5,求k的值.

21.已知: , 求以 的值为根的一元二次方程.