0  209391  209399  209405  209409  209415  209417  209421  209427  209429  209435  209441  209445  209447  209451  209457  209459  209465  209469  209471  209475  209477  209481  209483  209485  209486  209487  209489  209490  209491  209493  209495  209499  209501  209505  209507  209511  209517  209519  209525  209529  209531  209535  209541  209547  209549  209555  209559  209561  209567  209571  209577  209585  447090 

2.根据切线的判定,要求AE与⊙O相切,需求∠BAE=90°,由AB

O的直径得∠ACB=90°,则∠BAC+∠B=90°,所以∠CAE+∠BAC=90°,即∠BAE=90°.

[师]请大家按照我们刚才的分析写出步骤.

[生]1.解:∵∠C=90°,AC=12,BC=9,

∴由勾股定理得AB=15.

∵⊙OAC于点E,连接OE

OEAC

OEBC.∴△OAE∽△BAC

,即

.∴OE

ADAB-2ODAB-2OE=15-×2=

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2.如图(2),AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,∠CAE=∠B,你认为AE与⊙O相切吗?为什么?

分析:1.由⊙OAC相切可知OEAC,又∠C=90°,所以△AOE∽△ABC,则对应边成比例,.求出半径和OA后,由OAODAD,就求出了AD

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1.如图(1),在RtABC中,∠C=90°,AC=12,BC=9,DAB上一点,以BD为直径的⊙OAC于点E,求AD的长.

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2.直线和圆的位置关系

[生]直线和圆的位置关系也有三种,即相离、相切、相交,当直线和圆有两个公共点时,此时直线与圆相交;当直线和圆有且只有一个公共点时,此时直线和圆相切;当直线和圆没有公共点时,此时直线和圆相离.

[师]总结得不错,判断一条直线和圆的位置关系有哪些方法呢?

[生]有两种方法,一种就是从公共点的个数来判断,上面已知讨论过了,另一种是比较圆心到直线的距离d与半径的大小.

dr时,直线和圆相交;

dr时,直线和圆相切;

dr时,直线和圆相离.

[师]很好,下面我们做一个练习.

(投影片C)

如图,点A的坐标是(-4,3),以点A为圆心,4为半径作圆,则⊙Ax轴、y轴、原点有怎样的位置关系?

分析:因为x轴、y轴是直线,所以要判断⊙Ax轴、y轴的位置关系,即是判断直线与圆的位置关系,根据条件需用圆心A到直线的距离d与半径r比较.O是点,⊙A与原点即是求点和圆的位置关系,通过求OAr作比较即可.

[生]解:∵A点的坐标是(-4,3),

A点到x轴、y轴的距离分别是3和4.

又因为⊙A的半径为4,

A点到x轴的距离小于半径,到y轴的距离等于半径.

∴⊙Ax轴、y轴的位置关系分别为相交、相切.

由勾股定理可求出OA的距离等于5,因为OA>4,所以点O在圆外.

[师]上面我们讨论了直线和圆的三种位置关系,下面我们要对相切这种位置关系进行深层次的研究,即切线的性质和判定.

[生]切线的性质是:圆的切线垂直于过切点的直径.

切线的判定是:经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.

[师]下面我们看它们的应用.

(投影片D)

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2.如图(2),菱形ABCD中,对角线ACBD相交于点OEFGH分别是各边的中点.因为菱形的对角线互相垂直,所以△AOB、△BOC、△COD、△DOA都是直角三角形,又由于EFGH分别是各直角三角形斜边上的中点,所以OEOFOGOH分别是各直角三角形斜边上的中线,因此有OEABOFBCOGCDOHAD,而ABBCCDDA.所以OEOFOGOH.即各中点EFGH到对角线的交点O的距离相等,所以菱形各边的中点在同一个圆上.

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2.菱形各边的中点在同一个圆上吗?

分析:要判断某些点是否在圆上,只要看这些点到圆心的距离是否等于半径.

[生]1.解:如图(1),在RtOPD中,

OD=3,PD=4,

OP=5=r

所以点P在圆上.

同理可知OR<5,OQ>5.

所以点R在圆内,点Q在圆外.

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1.⊙O的半径r=5cm,圆心O到直线l的 距离dOD=3 m.在直线l上有PQR三点,且有PD=4cm,QD>4cm,RD<4cm,PQR三点对于⊙O的位置各是怎样的?

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[师]我们在本章学习了三种位置关系,即点和圆的位置关系;直线和圆的位置关系;圆和圆的位置关系.下面我们逐一来回顾.

1.点和圆的位置关系

[生]点和圆的位置关系有三种,即点在圆外;点在圆上;点在圆内.判断一个点是在圆的什么部位,就是看这一点与圆心的距离和半径的大小关系,如果这个距离大于半径,说明这个点在圆外;如果这个距离等于半径,说明这个点在圆上;如果这个距离小于半径,说明这个点在圆内.

[师]总结得不错,下面看具体的例子.

(投影片B)

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[师]作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题,确定了圆心和半径,圆就随之确定.我们在探索这一问题时,与作直线类比,研究了经过一个点、两个点、三个点可以作几个圆,圆心的分布和半径的大小有什么特点.下面请大家自己总结.

[生]经过一个点可以作无数个圆.因为以这个点以外的任意一点为圆心,以这两点所连的线段为半径就可以作一个圆.由于圆心是任意的,因此这样的圆有无数个.

经过两点也可以作无数个圆.

设这两点为AB,经过AB两点的圆,其圆心到AB两点的距离一定相等,所以圆心应在线段AB的垂直平分线上,在AB的垂直平分线上任意取一点为圆心,这一点到AB的距离为半径都可以作一个经过AB两点的圆.因此这样的圆也有无数个.

经过在同一直线上的三点不能作圆.

经过不在同一直线上的三点只能作一个圆.要作一个圆经过ABC三点,就要确定一个点作为圆心,使它到三点ABC的距离相等,到AB两点距离相等的点在线段AB的垂直平分线上,到BC两点距离相等的点应在线段BC的垂直平分线上,那么同时满足到ABC三点距离相等的点应既在AB的垂直平分线上,又在BC的垂直平分线上,既两条直线的交点,因为交点只有一个,即确定了圆心.这个交点到A点的距离为半径,所以这样的圆只能作出一个.

[师]经过不在同一条直线上的四个点ABCD能确定一个圆吗?

[生]不一定,过不在同一条直线上的三点,我们可以确定一个圆,如果另外一个点到圆心的距离等于半径,则说明四个点在同一个圆上,如果另外一个点到圆心的距离不等于半径,说明四个点不在同一个圆上.

例题讲解(投影片A)

矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上吗?为什么?

[师]请大家互相交流.

[生]解:如图,矩形ABCD的对角线ACBD相交于点O

∵四边形ABCD为矩形,

OAOCOBOD

ABCD四点到定点O的距离都等于矩形对角线的一半.

ABCD四点在以O为圆心,OA为半径的圆上.

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21.(12分)已知:三角形ABC内接于⊙O,过点A作直线EF.

(1)如图11,AB为直径,要使得EF是⊙O的切线,只需保证∠CAE=∠_____,并证明之;

(2)如图12,AB为⊙O非直径的弦,(1)中你所添出的条件仍成立的话,EF还是⊙O的切线吗?若是,写出证明过程;若不是,请说明理由并与同学交流.

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