1. 在ΔABC，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点O是ΔABC的外心，现在以O为圆心，分别以2、2.5、3、为半径作⊙O，则点C与⊙O的位置关系分别是_____________．

5. 一机械零件的横截面如图所示，作⊙的弦AB与⊙相切，且AB//，如果AB＝10cm，则下列说法正确的是(　　 )

　　　 A. 阴影面积为　　　　　　　　　 B. 阴影面积为

C. 阴影面积为　　　　　　　　　　　　　　 D. 因缺少数据，阴影面积无法计算

4. 如图，点B在圆锥母线VA上，且，过点B作平行于底面的平面截得一个小圆锥，若小圆锥的侧面积为，原圆锥的侧面积为S，则下列判断中正确的是(　　 )

　　　 A. 　　　　　 B. 　　　　　 C. 　　　　　　　　 D.

3. 如图，ΔABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝AC＝，⊙A与BC相切，则图中阴影部分的面积为(　　 )

　　　 A. 　　　　　　　 B. 　　　　　　　　　　 C. 　　　　　　　　　　　　　　 D.

2. 如图，⊙O的直径为10厘米，弦AB的长为6cm，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是(　　 )

　　　 A. 　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C. 　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

1. 下列命题中的真命题是(　　 )

　　　 A. 三点确定一个圆　　　　　　　　　　　　　 B. 平分弦的直径垂直弦

C. 圆周角等于圆心角的一半　　　　　　 D. 在同圆或等圆中等弧所对的圆周角相等

3. 本章的知识机构图

[典型例题]

例1. 已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4cm，则它的侧面积为　　　 cm²(结果保留π)。

答案：8π

　 例2. 一个扇形的弧长为4π，用它做一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为　　　　 。

答案：2

例3. 如图，矩形ABCD的长与宽分别是2cm和1cm，AB在直线l上。依次以B、C′、D″为中心将矩形ABCD按顺时针方向旋转90°，这样点A走过的曲线依次为、、，其中交CD于点P。

(1)求矩形A′BC′D′的对角线A′C′的长；

(2)求的长；

(3)求图中的部分的面积S；

(4)求图中的部分的面积T。

解：(1)

(2)＝。

(3)。

(4)连接BP，

在Rt△BCP中，BC＝1，BP＝2，

例4. 如下图，在矩形ABCD中，AD＝8，点E是AB边上的一点，AE＝。过D、E两点作直线PQ，与BC边所在的直线MN相交于点F。

(1)求tan∠ADE的值；

(2)点G是线段AD上的一个动点(不运动至点A、D)，GH⊥DE，垂足为H，设DG为x，四边形AEHG的面积为y，请求出y与x之间的函数关系式；

(3)如果AE＝2EB，点O是直线MN上的一个动点，以O为圆心作圆，使⊙O与直线PQ相切，同时又与矩形ABCD的某一边相切。问满足条件的⊙O有几个？并求出其中一个圆的半径。

解：(1)∵矩形ABCD中，∠A＝90°，AD＝8，AE＝

(2)，

在Rt△DGH中，∵GD＝x，

，

即y与x之间的函数关系式是。

(3)满足条件的⊙O有4个。

以⊙O在AB的左侧与AB相切为例，求⊙O半径如下：

∵AD∥MN，

∴△AED∽△BEF。

∴∠PFN＝∠EDA。

∴sin∠PEN＝sin∠EDA＝。

∵AE＝2BE,

∴△AED与△BEF的相似比为2∶1。

∴。

过点O作OI⊥PQ，垂足为I，设⊙O的半径为r，那么FO＝4－r。

，

∴r＝1。

(满足条件的⊙O还有：⊙O在AB的右侧与AB相切，这时r＝2；⊙O在CD的左侧与CD相切，这时r＝3；⊙O在CD的右侧与CD相切，这时r＝6)

例5. 已知⊙O的半径为1，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系。有一个正方形ABCD，顶点B的坐标为(，0)，顶点A在x轴上方，顶点D在⊙O上运动。

　 (1)当点D运动到与点A、O在一条直线上时，CD与⊙O相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由。

　 (2)设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求出S与x的函数关系式，并求出S的最大值和最小值。

解：(1)CD与⊙O相切。

因为A、D、O在一直线上，∠ADC＝90°，

所以∠CDO＝90°，所以CD是⊙O的切线。

CD与⊙O相切时，有两种情况：

①切点在第二象限时(如图①)，

设正方形ABCD的边长为a，则a²+(a+1)²＝13.

解得a＝2，或a＝－3(舍去)。

过点D作DE⊥OB于E，

则Rt△ODE∽Rt△OBA，

所以。

，所以点D₁的坐标是()，

所以OD所在直线对应的函数表达式为。

图①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图②

②切点在第四象限时(如图②)，

设正方形ABCD的边长为b，则b²+(b－1)²＝13，

解得b＝－2(舍去)，或b＝3。

过点D作DF⊥OB于F，则Rt△ODF∽Rt△OBA，

所以点的坐标是

所以OD所在直线对应的函数表达式为

图　 ③

　　 (2)如图③，过点D作于G，连接BD、OD，则

所以。

因为－1≤x≤1，所以S的最大值为，S的最小值为。

例6. 如图，形如量角器的半圆O的直径DE＝12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm。半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上。设运动时间为t(s)，当t＝0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm。

(1)当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？

(2)当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。

解：(1)①如图1，当点E与点C重合时，，OC＝OE＝6cm，所以AC与半圆O所在的圆相切。此时点O运动了2cm，所求运动时间为：。

②如图2，当点O运动到点C时，过点O作OF⊥AB，垂足为F。

在Rt△FOB中，∠FBO＝30°，OB＝12cm，则OF＝6cm，即OF等于半圆O的半径，所以AB与半圆O所在的圆相切。此时点O运动了8cm，所求运动时间为。

图　 2

③如图3，当点O运动到BC的中点时，AC⊥OD，OC＝OD＝6cm，所以AC与半圆O所在的圆相切，此时点O运动了14cm，所求运动时间为：。

图　 3

④如图4，当点O运动到B点的右侧，且OB＝12cm时，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q。

在Rt△QOB中，∠OBQ＝30°，

则OQ＝6cm，即OQ等于半圆O所在的圆的半径，

所以，直线AB与半圆O所在的圆相切，此时点O运动了32cm，所求运动时间为：。

因为半圆O在运动中，它所在的圆与AC所在的直线相切只有上述①、③两种情形；与AB所在的直线相切只有上述②、④两种情形；与BC所在直线始终相交。所以只有当t为1s，4s，7s，16s时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切。

　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图4

(2)当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有如图2与图3所示的两种情形。

①如图2，设OA与半圆O的交点为M，易知重叠部分是圆心角为90°，半径为6cm的扇形，所求重叠部分面积为：

。

②如图3，设AB与半圆O的交点为P，连接OP，过点O作OH⊥AB，垂足为H。则PH＝BH。在Rt△OBH中。

∠OBH＝30°，OB＝6cm，则OH＝3cm，

，

，

又因为，

所以。

所求重叠部分面积为：

。

[模拟试题](答题时间：60分钟)

2. 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积

知识要点：

1. 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为πrl。

2. 灵活运用本章的知识解决综合问题