5、图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图像,已知n可取±2,±四个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为( )
A.-2,-,,2 B.2,,-,-2
C. -,-2,2, D. 2,,-2, -
4、函数f(x)与g(x)=()x的图像关于直线y=x对称,则f(4-x2)的单调递增区间是 ( )
A. B. C. D.
3、方程 (0<a<1)的解的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2、已知2lg(x-2y)=lgx+lgy,则的值为( )
A.1 B.4 C.1或4 D.4 或 8
1. 函数的图像如图,其中a、b为常数,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
[例1]已知求
错解:∵∴
∴
错因:因对性质不熟而导致题目没解完.
正解:∵∴
∴
[例2]分析方程()的两个根都大于1的充要条件.
错解:由于方程()对应的二次函数为
的图像与x轴交点的横坐标都大于1即可.
故需满足,所以充要条件是
错因:上述解法中,只考虑到二次函数与x轴交点坐标要大于1,却忽视了最基本的的前题条件,应让二次函数图像与x轴有交点才行,即满足△≥0,故上述解法得到的不是充要条件,而是必要不充分条件.
正解:充要条件是
[例3]求函数的单调区间.
错解:令,则=
∴当t≥6,即x≥1时,y为关于t的增函数,
当t≤6,即x≤1时,y为关于t的减函数
∴函数的单调递减区间是,单调递增区间为
错因:本题为复合函数,该解法未考虑中间变量的取值范围.
正解:令,则为增函数,
==
∴当t≥6,即x≥1时,y为关于t的增函数,
当t≤6,即x≤1时,y为关于t的减函数
∴函数的单调递减区间是,单调递增区间为
[例4]已知在[0,1]上是的减函数,则的取值范围是
错解:∵是由,复合而成,又>0
∴在[0,1]上是的减函数,由复合函数关系知
应为增函数,∴>1
错因:错因:解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系,却忽视了数定义域的限制,单调区间应是定义域的某个子区间,即函数应在[0,1]上有意义.
正解:∵是由,复合而成,又>0
∴在[0,1]上是的减函数,由复合函数关系知
应为增函数,∴>1
又由于 在[0,1]上时 有意义,又是减函数,∴=1时,取最小值是>0即可, ∴<2
综上可知所求的取值范围是1<<2
[例5]已知函数.
(1)当时恒有意义,求实数的取值范围.
(2)是否存在这样的实数使得函数在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1,如果存在,试求出的值;如果不存在,请说明理由.
分析:函数为复合函数,且含参数,要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路,是否存在性问题,分析时一般先假设存在后再证明.
解:(1)由假设,>0,对一切恒成立,
显然,函数g(x)= 在[0,2]上为减函数,从而g(2)=>0得到<
∴的取值范围是(0,1)∪(1,)
(2)假设存在这样的实数,由题设知,即=1
∴=此时
当时,没有意义,故这样的实数不存在.
点评:本题为探索性问题,应用函数、方程、不等式之间的相互转化,存在性问题一般的处理方法是先假设存在,结合已知条件进行推理和等价转化,若推出矛盾,说明假设不成立.即不存在,反之没有矛盾,则问题解决.
[例6]已知函数f(x)=, 其中为常数,若当x∈(-∞, 1]时, f(x)有意义,求实数a的取值范围.
分析:参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中,欲直接建立关于的不等式(组)非常困难,故应转换思维角度,设法从原式中把分离出来,重新认识与其它变元(x)的依存关系,利用新的函数关系,常可使原问题“柳暗花明”.
解:>0, 且a2-a+1=(a-)2+>0,
∴ 1+2x+4x·a>0, a>,
当x∈(-∞, 1]时, y=与y=都是减函数,
∴ y=在(-∞, 1]上是增函数,max=-,
∴ a>-, 故a的取值范围是(-, +∞).
点评:发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主,主客换位,创设新的函数,并利用新函数的性质创造性地使原问题获解,是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后,利用新建函数y=的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a的取值范围.此法也叫主元法.
[例7]若,试求的取值范围.
解:∵幂函数有两个单调区间,
∴根据和的正、负情况,有以下关系
① ② ③
解三个不等式组:①得<<,②无解,③<-1
∴的取值范围是(-∞,-1)∪(,)
点评:幂函数有两个单调区间,在本题中相当重要,不少学生可能在解题中误认为,从而导致解题错误.
[例8] 已知a>0 且a≠1 ,f (log a x ) = (x - )
(1)求f(x);
(2)判断f(x)的奇偶性与单调性;
(3)对于f(x) ,当x ∈(-1 , 1)时 , 有f( 1-m ) +f (1- m2 ) < 0 ,求m的集合M .
分析:先用换元法求出f(x)的表达式;再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性;然后利用以上结论解第三问.
解:(1)令t=logax(t∈R),则
f(x)在R上都是增函数.
点评:对含字母指数的单调性,要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入f(x)的表达式可求出m的取值范围,请同学们细心体会.
6.幂函数的性质,要注意的取值变化对函数性质的影响.
(1)当时,幂函数是奇函数;(2)当时,幂函数是偶函数;(3)当时,定义域不关于原点对称,幂函数为非奇非偶函数.
5.对数函数与指数函数互为反函数,会将指数式与对数式相互转化.
4.函数的研究方法一般是先研究的性质,再由的情况讨论的性质.
3.利用指数函数的性质解题,一定要注意底数的取值.
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