(六)二项式定理

内容：1 的展开式、项数、的指数。

　　 2 展开式中的通项公式

　　 3 各项系数和的求法及各项二项式系数和的求法。

　　 4 二项式系数最要的项，是第几项？(由n的奇偶性讨论)

　　 5 注意展开式的逆用。

　　 6 用二项式定理求近似值；证明整除问题。

例7　 已知的展开式前三项中的x的系数成等差数列．

① 求展开式里所有的x的有理项；

② 求展开式中二项式系数最大的项．

评析 　(1) 把握住二项展开式的通项公式，是掌握二项式定理的关键．除通项公式外，还应熟练掌握二项式的指数、项数、展开式的系数间的关系、性质．

(2) 应用通项公式求二项展开的特定项，如求某一项，含x某次幂的项，常数项，有理项，系数最大的项等，一般是应用通项公式根据题意列方程，在求得n或r后，再求所需的项(要注意n和r的数值范围及大小关系)．

(3) 注意区分展开式“第r+1项的二项式系数”与“第r+1项的系数”．

例8　 (’96 全国)某地现有耕地1000公顷．规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)？

解　 设耕地平均每年至少只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M顷．

答：按规划该地区耕地每年至多只能减少4公顷．

评析　 二项式定理的应用十分广泛，主要有以下四个方面：求展开式的特定项；近似计算；证明整除性和不等式；证明组合数等式或求和．本例的最后运用了二项展开式进行近似计算．

数学应用性问题怎么解

数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一, 也是考生失分较多的一种题型. 高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.解答这类问题的要害是深刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,这当中,函数,数列,不等式，排列组合是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也应在复课时引起重视.

　　 例1某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室。据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？

讲解: 引入字母,转化为递归数列模型.

设第n次去健身房的人数为a_n，去娱乐室的人数为b_n，则.

.

，于是

即　　　 .

.故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右.

上述解法中提炼的模型, 使我们联想到了课本典型习题(代数下册P.132第34题)

已知数列的项满足

其中，证明这个数列的通项公式是

有趣的是, 用此模型可以解决许多实际应用题, 特别, 2002年全国高考解答题中的应用题(下文例9)就属此类模型.

　　　 例2 某人上午7时乘摩托艇以匀速V千米/小时(4≤V≤20)从A港出发前往50千米处的B港，然后乘汽车以匀速W千米/小时(30≤W≤100)自B港向300千米处的C市驶去，在同一天的16时至21时到达C市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x小时、y小时，若所需经费元，那么V、W分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.

　　　 讲解: 题中已知了字母, 只需要建立不等式和函数模型进行求解.

由于又

则z最大时P最小.

作出可行域，可知过点(10，4)时, z有最大值38，

　　 ∴P有最小值93，这时V=12.5，W=30.

　　　 视这是整体思维的具体体现, 当中的换元法是数学解题的常用方法.

　　　 例3 某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程。经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时。但是，除了有一辆车可以立即投入施工外，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25辆车。问24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明理由.

讲解: 引入字母, 构建等差数列和不等式模型.

由20辆车同时工作24小时可完成全部工程可知，每辆车，每小时的工作效率为，设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间为a₁，a₂，…, a₂₅小时，依题意它们组成公差(小时)的等差数列，且

，化简可得.

解得.

可见a₁的工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成.

对照此题与2002年全国高考文科数学解答题中的应用题, 你一定会感觉二者的解法是大同小异的. 学习数学就需要这种将旧模式中的方法迁移为解答新题的有用工具, 这要求你不断的联想, 力求寻找恰当的解题方案.

　　　 例4 某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m²)的宿舍楼.已知土地的征用费为2388元/m²，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍.经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m²，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m².试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.(总费用为建筑费用和征地费用之和).

讲解: 想想看, 需要引入哪些字母? 怎样建构数学模型?

设楼高为n层，总费用为y元，则征地面积为，征地费用为元，楼层建筑费用为

[445+445+(445+30)+(445+30×2)+…+445+30×(n－2)]·元，从而

(元)

当且仅当 , n=20(层)时，总费用y最少.

故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时, 最少总费用为1000A元.

实际应用题的数列模型是近两年高考命题的热门话题, 涉及到等差数列, 等比数列, 递归数列等知识点, 化归转化是解答的通性同法.

　　　 例5　 在一很大的湖岸边(可视湖岸为直线)停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人,从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.,问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？

讲解: 不妨画一个图形,将文字语言翻译为图形语言, 进而想法建立数学模型.

设船速为v，显然时人是不可能追上小船，当km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。设船速为v，人追上船所用

时间为t，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间

为，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形.

由余弦是理得

即

整理得.

要使上式在(0，1)范围内有实数解，则有且

解得.

　 故当船速在内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为，由此可见当船速为2.5km/h时, 人可以追上小船.

　　　 涉及解答三角形的实际应用题是近年高考命题的一个冷点, 复课时值得关注.

　　　 例6　 一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度

d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比.

　 (1)将此枕木翻转90°(即宽度变为了厚度)，枕木的安全负荷变大吗？为什么？

　 (2)现有一根横断面为半圆(半圆的半径为R)的木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？

　讲解:(1)安全负荷为正常数)　 翻转

，安全负荷变大.…4分当 ，安全负荷变小.

　 (2)如图，设截取的宽为a，高为d，则.

　∵枕木长度不变，∴u=ad²最大时，安全负荷最大.

，当且仅当，即取，

取时，u最大， 即安全负荷最大.

三次函数最值问题一般可用三元均值不等式求解, 如果学过导数知识, 其解法就更为方便, 省去了应用均值不等式时配凑“定和”或“定积”的技巧性.

　　 例7　 已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用

甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物

内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.

　 　　(1)用x，y表示混合食物成本c元；

　 　　(2)确定x，y，z的值，使成本最低.

　 　 讲解:(1)依题意得 　.

(2)由 , 得

　　　 ，

当且仅当时等号成立.,　

　∴当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低为850元.

线性规划是高中数学的新增内容, 涉及此类问题的求解还可利用图解法, 试试看.

例8　 随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员人(140<<420，且为偶数)，每人每年可创利万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利万元，但公司需付下岗职员每人每年万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？

　　 讲解　 设裁员人，可获得的经济效益为万元,则

　　　　　 =

依题意　 ≥

　　 ∴0<≤.

又140<<420,　 70<<210.

(1)当0<≤,即70<≤140时， , 取到最大值;

(2)当>,即140<<210时， , 取到最大值;

　 综上所述，当70<≤140时，应裁员人；当140<<210时，应裁员人.

　　 在多字母的数学问题当中，分类求解时需要搞清：为什么分类？对谁分类？如何分类？

　　　 例9 　某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?

讲解　 设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，……，每年新增汽车万辆，则

　　　　　　 ，

所以，当时，，两式相减得：

(1)显然，若，则，即，此时

(2)若，则数列为以为首项，以为公比的等比数列，所以，.

(i)若，则对于任意正整数，均有，所以，，此时，

(ii)当时，，则对于任意正整数，均有，所以，，

由，得

，

要使对于任意正整数，均有恒成立，

即　　　

对于任意正整数恒成立，解这个关于x的一元一次不等式 , 得

,

上式恒成立的条件为：，由于关于的函数单调递减，所以，.

(四)排列、组合的混合问题

排列、组合的混合问题，主要指既与组合有关，又与排列有关的应用问题.如分配问题.　

例6　 六本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法?

(1) 分为三堆,每堆2本；

(2) 分为三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本；

(3) 分给甲、乙、丙三人，每人2本；

(4) 分给甲、乙、丙三人，一人得1本，一人拿2本，一人得3本；

(5) 分给甲、乙、丙三人，每人至少得1本.

评析　 本例属分配问题，解这类问题的基本思路是先分组，再分配，即先组合、后排列．同时注意在分组时，若出现平均分组(即两组元素个数相同)的情况，则要除以组数(即平均分组的数目)的阶乘．

例6　 (1)分别从4所学校选拔6名报告员，每校至少1人，有多少种不同的选法？

(2) 将6名报告员分配到4所学校去做报告，每校至少1人，有多少种不同的分配方法？

评析 　两小题看以类似，但第(1)小题的选取元素为学校；第(2)小题的选取元素为报告员，解题时要注意区分分组时，组合的对象--即元素是什么．

(三)排列应用题

例2 　4位学生与2位教师并坐合影留念．(1)教师必须坐在中间；(2)教师不能坐在两端，但要坐在一起；(3)教师不能坐在两端，且不能相邻．各有多少种不同的坐法？(1)_{；(2)；(3)144}

评析　 (1) “在与不在”、“邻与不邻”是带限制条件的排列应用题的两种重要题型，处理这类问题的基本思路，有“直接”、“间接”之分．

(2) 对“在与不在”问题，优先考虑受限制的特殊元素或特殊位置的思想方法，是解题的基本策略；而处理“邻与不邻”问题，使用捆绑和插空法是十分有效的．

(3) 关于“元素和问题”的认识，是排列、组合概念中的一个重要问题，解题总是从元素或位置出发，要注意即使在同一问题中，把什么看作元素(或位置)并不是一成不变的．　

例3　 用0，1，2，3，4，5 六个数字，可以组成多少个没有重复数字的：(1)首数是奇数的五位偶数？(2) 五位奇数？(3)五位偶数？

(二)加法原理与乘法原理

这是两个基本原理，它们不仅是推导排列数公式、组合数公式的基础，而且可以直接运用它们去解决某些问题．两个原理的区别是前者与分类有关，与元素的顺序有关；后者与分步有关，与元素的顺序无关；．

例1　 (1)有红、黄、白色旗子各n面(n＞3)，取其中一面、二面、三面组成纵列信号，可以有多少不同的信号？

(2) 有1元、5元、10元的钞票各一张，取其中一张或几张，能组成多少种不同的币值？

　　 (1) 解　 因为纵列信号有上、下顺序关系，所以是一个排列问题，信号分一面、二面、三面三种情况(三类)，各类之间是互斥的，所以用加法原理：①升一面旗，共有3种信号；②升二面旗，要分两步，连续完成每一步，信号方告完成，而每步又是独立的事件，故用乘法原理，因同色旗子可重复使用，故共有3×3种信号；③升三面旗，有3×3×3种信号．所以共有39种信号．

(2) 解法　 计算币值与顺序无关，所以是一个组合问题，有取一张、二张、三张、四张四种情况，它们彼此是互斥的，用加法原理．因此，不同币值有 ＝15(种)

评析　 (1) 排列、组合的区别在于顺序性，前者“有序”而后者“无序”；加法原理与乘法原理的区别在于联斥性，前者“斥”--互斥独立事件，后者“联”--相依事件．因而有“顺序”决“问题”，“联斥”定“原理”的说法．

(2)加、乘原理是排列、组合问题的理论依据，在分析问题和指导解题中起着关键作用，运用加法原理的关键在于恰当地分类(分情况)，要使所分类别既不遗漏，也不重复；运用乘法原理的关键在于分步，要正确设计分步的程序，使每步之间既互相联系，又彼此独立．

(一)　 本来的主要内容结构

1. 掌握加法原理及乘法原理，并能运用这两个原理分析和解决一些简单的问题．　　 2. 理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题．　 3. 掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题．

(二)公式法：

(4)高次不等式--序轴标根法

(5)分式不等式--序轴标根法

　　 步骤：①形式：

②首项系数符号>0--标准式

　 若系数含参数时，须判断或讨论系数，化负为正

③判断或比较根的大小。

7、(1)

　　 (Ⅰ)基本不等式

(Ⅱ)

(2)含绝对值的不等式性质

统计

1.平均数(又称期望值)

设数据，则

(1)

(2)设，　 ，………,则

(3)

2.方差

衡量数据波动大小

　(较小)

　 　(数据较小)

　 　(数据较大)

--------标准差

3.抽样方法

(1)简单随机抽样：概率　 其中n为样本容量， N为个体总数

(2)分层抽样：　 其中n为样本容量， N为个体总数

　　　　　　　　　　　　 n₁为分层样本容量， N₁为分层个体总数

排列、组合、二项式定理

(一)零点分段讨论

(三)性质：方程：；

　　　　　　 焦点： 　，通径；

　　　　　　 准线：　 ；

　　　　 　焦半径：过焦点弦长

　　 注意：(1)几何特征：焦点到顶点的距离=；焦点到准线的距离=；通径长=

　　　　　　　 顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

　　　　　 (2)抛物线上的动点可设为P或P

三角函数的概念、性质和图象

　复习要求(以下内容摘自《考纲》)

　　 1. 理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算．

2. 掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、特殊角的三角函数值、三角函数的性质、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义．会求y＝Asin(ωx+j)的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，能运用上述三角公式化简三角函数式，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式．

3. 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数y＝Asin(ωx+j)的简图，并能解决与正弦曲线有关的实际问题．

4.正弦函数、余弦函数的对称轴，对称点的求法。

5．形如 的辅助角的形式，求最大、最小值的总题。

6．同一问题中出现，求它们的范围。如求的值域。

7．已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值。

如已知的值。

　8　正弦定理：

余弦定理：，…

可归纳为表9－1.

　 表9-1　 三角函数的图象三、主要内容及典型题例

三角函数是六个基本初等函数之一，三角函数的知识包括三角函数的定义、图象、性质、三角函数线、同角三角函数的关系式与诱导公式，以及两角和与差的三角函数，二倍角，降次公式等。

1.　　　　　 三角函数的图象与性质和性质

2. 三角函数作为基本初等函数，它必然具备函数的共性；作为个体，它又具有自身的个性特点．例如周期性、弦函数的有界性，再如三角函数的单调性，具有分段单调的特征．通过复习对这些特性必须很好掌握，其中三角函数的周期性是高考中出现频率最高的试题．根据《考纲》的要求，只需要会求经过简单的恒等变形可化为正弦、余弦、正切、余切函数及y＝Asin(ωx+j)等形式的三角函数的周期，不必去研究周期函数的和、差、积、商的函数的周期．

看一看历年来高考中出现的求三角函数周期的考题(例1)，你应该对复习的要求有个基本的了解．

例1　 求下列三角函数的周期．(根据历年全国高考有关考题(填空、选择题)改编

注意　 理解函数周期这个概念，要注意不是所有的周期函数都有最小正周期，如常函数f(x)＝c(c为常数)是周期函数，其周期是异于零的实数，但没有最小正周期．　

3. 弦函数的有界性：|sinx|≤1,|cosx|≤1在解题中有着广泛的应用，忽视这一性质，常会出现错误。

例3　 求下列函数的值域：

解法2 　令t＝sinx，则f(t)＝－t²+t+1，∵ |sinx|≤1,　 ∴ |t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值．

本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。

5. “去负--脱周--化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路．即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数--去负；利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间[0^o,360^o)或[0^o,180^o)内的三角函数--脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数--化锐.

同角三角函数之间的三种关系：

　(1)倒数关系：(2)商数关系： 　(3)平方关系：

是进行三角式化简的最基本的公式，必须熟练掌握．

其中九组三角诱导公式的规律可简记为：奇变偶不变，符号看象限．此外在应用时，不论a取什么值，我们始终视a为锐角．否则，将导致错误。

6. 三角函数的图象、单位图以及三角函数线，为我们提供了数形结合的解题方法，在解题中有着广泛的应用，应引起足够的重视．

7. 在函数y＝Asin(ωx+j)+k (A＞0, ω＞0)中，A和ω确定函数图象的形状，j和k确定图象的位置．

作函数y＝Asin(ωx+j)+k的图象，既可用“五点法”，也可用图象变换的方法．图象的基本变换有振幅变换、周期变换，以及相位变换(左、右平移)和上下平移，前两种变换是伸缩变换，后两种变换是平移变换．

对函数y＝Asin(ωx+j)+k (A＞0, ω＞0, j≠0, k≠0),其图象的基本变换有：

(1)振幅变换(纵向伸缩变换)：是由A的变化引起的．A＞1,伸长；A＜1,缩短．

(2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的．ω＞1，缩短；ω＜1,伸长．

(3)相位变换(横向平移变换)：是由φ的变化引起的．j＞0,左移；j＜0，右移．

　　　 　 (4)上下平移(纵向平移变换): 是由k的变化引起的．k＞0, 上移；k＜0,下移

于是，本题的答案为②、③．

评析 　本例所用的方法带有普遍性，用来解有关函数y＝Asin(ωx+j)的图象是十分奏效的。

数列

1.(1)一般形式：

　 (2)通项公式：

　 (3)前n项和：

2.等差数列

　 (1)定义：

　 (2)通项公式：

　　　　　　　 推广：

　 (3)前n项和公式：

　 (4)性质

　 ①

　 ②

　　 特别地：

　 ③ 奇数项

　　　 偶数项

　　　 所以有

　　　 所以有

　 ④　　 　　

　　　 则有

3.等比数列

　 (1)定义：

　 (2)通项公式：

　 (3)前n项和

　 (4)性质：

①

②

　 特别地，

③，　 ，　

　 则

4.数列通项

　(1)等差，等比数列的通项

　(2)

　(3)迭加累加　　　　　　　　　　　　　　　　 ，迭乘累乘

，　　　　　　　

　　　 ，　　　　　　　　　　

，　　　　　　　　　　　

………，　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………，

， 　　　　　　　　　　

，　　　　　

注：

5.数列的求和

(1)等差与等比数列

(2)裂项相消法：　

(3)错位相减法：,　

　 所以有

(4)通项分解法：

6.(1)

(2)

7.递推数列：

(1)能根据递推公式写出数列的前n项

(2)由　　 解题思路：利用

　 变化(1)已知

　　　 (2)已知

不等式

1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系：

2、不等式的性质：

(1)　 　(反对称性)

(2)　　 　　　(传递性)

(3)，故　 (移项法则的依据0

推论：　 (同向不等式相加)

(4)，

推论1：

推论2：

推论3：

3、常用的基本不等式和重要的不等式

(1) 当且仅当

(2)

(3)，则

注：

(4)

4、最值定理

设

(1)如积

(2)如积

即；积定和最小，和定积最大。

注；运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等

5、不等式的证明方法

(1)比较法

(2)综合法--由因导果

(3)分析法--执果索因

一般地常用分析法探索证题途径，然后用综合法

6、解不等式

(1)一元一次不等式

①　 ②

(2)一元二次不等式 　第一册P39

判别式 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

二次函数

的图象　　　　

一元二次方程　　　　　　　 相异实根　　　　　　　　 相等实根　　　　 没有实根

的根　　　　 　　　　　　　

解集　　　 　　　　　　　R

解集　　　 　　　　　　　　　　　　　　

注：解集为R，(　 对恒成立)

则(Ⅰ)　　　 (Ⅱ)若二次函数系数含参数且未指明不为零时，需验证

若解集为R呢？

如：关于x的不等式对恒成立，则的取值范围　　　 。

略解(Ⅰ)

(Ⅱ)

又如南通市二模22题

(3)绝对值不等式

(二)图形：