6．机械能的瞬时损失

例6、一质量为m的质点，系于长为R的轻绳的一端，绳的另一端固定在空间的O点，假定绳是不可伸长的、柔软且无弹性的。今把质点从O点的正上方离O点的距离为的O₁点以水平的速度抛出，如图12所示。试求；

图12

(1)轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为多少？

(2)当质点到达O点的正下方时，绳对质点的拉力为多大？

解析：其实质点的运动可分为三个过程：

第一过程：质点做平抛运动。设绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为，如图13所示，则，

图13

，其中

联立解得。

第二过程：绳绷直过程。绳棚直时，绳刚好水平，如图2所示.由于绳不可伸长，故绳绷直时，V₀损失，质点仅有速度V_⊥，且。

第三过程：小球在竖直平面内做圆周运动。设质点到达O点正下方时，速度为V′，根据机械能守恒守律有：

设此时绳对质点的拉力为T，则，联立解得：。

反思：在绳被拉直瞬时过程中有机械能的瞬时损失，绳棚直时，绳刚好水平，由于绳不可伸长，，其速度的水平分量突变为零。这时候存在机械能的瞬时损失，即物体的速度突然发生改变(物体某个方向的突然减为零)物理的机械能一定不守恒！

5．机械能守恒定律和平抛运动相结合

例5、小球在外力作用下，由静止开始从A点出发做匀加速直线运动，到B点时消除外力。然后，小球冲上竖直平面内半径为R的光滑半圆环，恰能维持在圆环上做圆周运动，到达最高点C后抛出，最后落回到原来的出发点A处，如图11所示，试求小球在AB段运动的加速度为多大？

图11

解析：本题的物理过程可分三段：从A到孤匀加速直线运动过程；从B沿圆环运动到C的圆周运动，且注意恰能维持在圆环上做圆周运动，在最高点满足重力全部用来提供向心力；从C回到A的平抛运动。

根据题意，在C点时，满足：　　　　　　 ①

从B到C过程，由机械能守恒定律得： ②

由①、②式得：

从C回到A过程，做平抛运动：

水平方向：　　　　　 ③

竖直方向：　　 ④

由③、④式可得s=2R　

　从A到B过程，由匀变速直线运动规律得： ⑤　　　

即：

反思：机械能守恒的条件：在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。平抛运动的处理方法：把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向(垂直于恒力方向)的匀速直线运动，一个是竖直方向(沿着恒力方向)的匀加速直线运动。

3．动能定理与其他知识的综合

例3： 静置在光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图5所示，图线为半圆．则小物块运动到x₀处时的动能为(　　　 )

A．0　　 　 B．　　 C．　 D．

解析　 由于水平面光滑,所以拉力F即为合外力，F随位移X的变化图象包围的面积即为F做的功，由图线可知，半圆的半径为：

设x₀处的动能为E_K，由动能定理得：

即：，有：，

解得：，所以本题正确选项为C、D。

反思：不管是否恒力做功，也不管是否做直线运动，该动能定理都成立；本题是变力做功和力与位移图像相综合，对变力做功应用动能定理更方便、更迅捷，平时应熟练掌握。

4动能定理和牛顿第二定律相结合

例4、如图10所示，某要乘雪橇从雪坡经A点滑到B点，接着沿水平路面滑至C点停止。人与雪橇的总质量为。右表中记录了沿坡滑下过程中的有关数据，开始时人与雪橇距水平路面的高度，请根据右表中的数据解决下列问题：

　 (1)人与雪橇从A到B的过程中，损失的机械能为多少？

　 (2)设人与雪橇在BC段所受阻力恒定，求阻力的大小。

　 (3)人与雪橇从B运动到C的过程中所对应的距离。(取)

图10

解析：(1)从A到B的过程中，人与雪橇损失的机械能为

代入数据解得:

(2)人与雪橇在BC段做减速运动的加速度大小 ：

根据牛顿第二定律有 　

解得　 N　　

(3)人与雪橇从B运动到C的过程中由动能定得得：　

代入数据解得：　

反思：动能定理是研究状态，牛顿第二定律是研究过程。动能定理不涉及运动过程中的加速度和时间，用它来处理问题要比牛顿定律方便，但要研究加速度就必须用牛顿第二定律。

2．机车的启动问题

例2汽车发动机的功率为60KW，若其总质量为5t，在水平路面上行驶时，所受的阻力恒为5.0×10³N，试求：

(1)汽车所能达到的最大速度。

(2)若汽车以0.5m/s²的加速度由静止开始匀加速运动,求这一过程能维持多长时间?

解析：(1)汽车在水平路面上行驶,当牵引力等于阻力时,汽车的速度最大，最大速度为：

(2)当汽车匀加速起动时，由牛顿第二定律知：

而

所以汽车做匀加速运动所能达到的最大速度为：

所以能维持匀加速运动的时间为

反思：机车的两种起动方式要分清楚,但不论哪一种方式起动,汽车所能达到的最大速度都是汽车沿运动方向合外力为零时的速度,此题中当牵引力等于阻力时,汽车的速度达到最大；而当汽车以一定的加速度起动时，牵引力大于阻力，随着速度的增大，汽车的实际功率也增大，当功率增大到等于额定功率时，汽车做匀加速运动的速度已经达到最大，但这一速度比汽车可能达到的最大速度要小。

1．作用力做功与反作用力做功

例1下列是一些说法中，正确的是(　)

A．一质点受两个力作用且处于平衡状态(静止或匀速)，这两个力在同一段时间内的冲量一定相同;

B．一质点受两个力作用且处于平衡状态(静止或匀速)，这两个力在同一段时间内做的功或者都为零，或者大小相等符号相反;

C．在同样的时间内，作用力和反作用力的功大小不一定相等，但正负号一定相反;

D．在同样的时间内，作用力和反作用力的功大小不一定相等，但正负号也不一定相反;

解析：说法A不正确，因为处于平衡状态时，两个力大小相等方向相反，在同一段时间内冲量大小相等，但方向相反。由恒力做功的知识可知，说法B正确。关于作用力和反作用力的功要认识到它们是作用在两个物体上，两个物体的位移可能不同，所以功可能不同，说法C不正确，说法D正确。正确选项是BD。

反思：作用力和反作用是两个分别作用在不同物体上的力，因此作用力的功和反作用力的功没有直接关系。作用力可以对物体做正功、负功或不做功，反作用力也同样可以对物体做正功、负功或不做功。

热点1：动能定理

例1、半径的竖直放置的圆轨道与水平直轨道相连接。如图6所示。质量为的小球A以一定的初速度由直轨道向左运动，并沿圆轨道的内壁冲上去，如果A经过N点时的速度A经过轨道最高点M时对轨道的压力为，取．

求：小球A从N到M这一段过程中克服阻力做的功W．

图6

解析：解析：小球运动到M点时，速度为,轨道对球的作用力为N，

由向心力公式可得：

即：

从N到M点由动能定理：

即：

答案：

反思：应用动能定理解题时，要选取一个过程，确定两个状态，即初状态和末状态，以及与过程对应的所有外力做功的代数和.由于动能定理中所涉及的功和动能是标量，无需考虑方向.因此，无论物体是沿直线还是曲线运动，无论是单一运动过程还是复杂的运动过程，都可以求解.

热点2：机械能守恒定律

例2、如图7所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量均为m的小球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速释放摆下。求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功?

图7

本题简介：本题考查学生对机械能守恒的条件的理解，并且机械能守恒是针对A、B两球组成的系统，单独对A或B球来说机械能不守恒. 单独对A或B球只能运用动能定理解决。

解析：设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为和。如果把轻杆、地球、两个小球构成的系统作为研究对象，那么由于杆和小球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒。

若取B的最低点为零重力势能参考平面，可得： ①

又因A球对B球在各个时刻对应的角速度相同,故 ②

由①②式得：.

根据动能定理，可解出杆对A、B做的功。

对于A有：，即：

对于B有：，即：.

答案：、

反思：绳的弹力是一定沿绳的方向的，而杆的弹力不一定沿杆的方向。所以当物体的速度与杆垂直时，杆的弹力可以对物体做功。机械能守恒是针对A、B两球组成的系统，单独对系统中单个物体来说机械能不守恒. 单独对单个物体研究只能运用动能定理解决。学生要能灵活运用机械能守恒定律和动能定理解决问题。.

热点3：能量守恒定律

例3、如图4-4所示，质量为M，长为L的木板(端点为A、B，中点为O)在光滑水平面上以v₀的水平速度向右运动，把质量为m、长度可忽略的小木块置于B端(对地初速度为0)，它与木板间的动摩擦因数为μ，问v₀在什么范围内才能使小木块停在O、A之间？

图4-4

本题简介：本题是考查运用能量守恒定律解决问题，因为有滑动摩擦力做功就有一部分机械能转化为内能。在两个接触面上因相对滑动而产生的热量，其中为滑动摩擦力，为接触物的相对路程。

解析：木块与木板相互作用过程中合外力为零，动量守恒.

设木块、木板相对静止时速度为 v，则 (M +m)v = Mv₀　　　　　　　 ①

能量守恒定律得：　　 ②

滑动摩擦力做功转化为内能：　　　　　 ③

　　　　　　　　　　　　　 ④

由①②③④式得： v₀ 的范围应是：

≤v₀≤.

答案：≤v₀≤

反思：只要有滑动摩擦力做功就有一部分机械能转化为内能，转化的内能：，其中为滑动摩擦力，为接触物的相对路程。

考点1：平均功率和瞬时功率

例1、物体m从倾角为α的固定的光滑斜面由静止开始下滑，斜面高为h，当物体滑至斜面底端时，重力做功的功率为(　 )

A.　 B.　 C. D.

解析：由于光滑斜面，物体m下滑过程中机械能守恒，滑至底端是的瞬时速度，根据瞬时功率。

图1

由图1可知，的夹角则滑到底端时重力的功率是，故C选项正确。

答案：C

　点拨：计算功率时，必须弄清是平均功率还是瞬时功率，若是瞬时功率一定要注意力和速度之间的夹角。瞬时功率(为，的夹角)当，有夹角时，应注意从图中标明，防止错误。

考点2：机车起动的问题

例2质量的汽车，发动机的额定功率为，汽车从静止以的加速度行驶，所受阻力，则汽车匀加速行驶的最长时间为多少？汽车可能达到的最大速度为多少？

解析：汽车从静止开始，以恒定加速度a做匀加速直线运动．

汽车匀加速行驶时，设汽车发动的牵引力为，汽车匀加速运动过程的末速度为，汽车匀加速运动的时间为根据牛顿第二定律：　　 ①

由于发动机的功率：　　　　 ②

根据运动学公式：　　　　　　 ③

由①②③式得：

当汽车加速度为零时，汽车有最大速度，则：

点拨：汽车的速度达到最大时，一定是机车的加速度为零，弄清了这一点，利用平衡条件就很容易求出机车的最大速度。汽车匀加速度运动能维持多长时间，一定是机车功率达到额定功率的时间，弄清了这一点，利用牛顿第二定律和运动学公式就很容易求出机车匀加速度运动能维持的时间。

考点3：动能定理的应用

例3如图2所示，斜面足够长，其倾角为α，质量为m的滑块，距挡板P为，以初速度沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块在斜面上经过的总路程为多少？

图2

解析：滑块在滑动过程中，要克服摩擦力做功，其机械能不断减少；又因为滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，所以最终会停在斜面底端。

在整个过程中，受重力、摩擦力和斜面支持力作用，其中支持力不做功。设其经过和总路程为L，

对全过程，由动能定理得：　

得：

点拨：物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的小过程(如加速、减速的过程)，此时可以分段考虑，也可以对全过程考虑，但如能对整个过程利用动能定理列式则使问题简化。

考点4:会用解物理问题

　　　 例4如图4-2所示，小车的质量为，后端放一质量为的铁块，铁块与小车之间的动摩擦系数为，它们一起以速度沿光滑地面向右运动，小车与右侧的墙壁发生碰撞且无能量损失，设小车足够长，则小车被弹回向左运动多远与铁块停止相对滑动？铁块在小车上相对于小车滑动多远的距离？

图4-2

解析：小车反弹后与物体组成一个系统满足动量守恒，规定小车反弹后的方向作向左为正方向，设共同速度为，则：

解得：

以车为对象，摩擦力始终做负功，设小车对地的位移为，

则：

即：；

系统损耗机械能为：

；

点拨：两个物体相互摩擦而产生的热量Q(或说系统内能的增加量)等于物体之间滑动摩擦力f与这两个物体间相对滑动的路程的乘积，即.利用这结论可以简便地解答高考试题中的“摩擦生热”问题。

4．理解功能关系和能量守恒定律

(1)做功的过程是能量转化的过程，功是能的转化的量度。

功是一个过程量，它和一段位移(一段时间)相对应；而能是一个状态量，它与一个时刻相对应。两者的单位是相同的(J)，但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”。

　　 (2)要研究功和能的关系，突出“功是能量转化的量度”这一基本概念。①物体动能的增量由外力做的总功来量度，即：；　 ②物体重力势能的增量由重力做的功来量度，即：；③物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度，即：，当时，说明只有重力做功，所以系统的机械能守恒；④一对互为作用力反作用力的摩擦力做的总功，用来量度该过程系统由于摩擦而减小的机械能，也就是系统增加的内能。，其中为滑动摩擦力，为接触物的相对路程。

3.理解势能和机械能守恒定律

(1)机械能守恒定律的两种表述

①在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。

②如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和重力势能的相互转化时，机械能的总量保持不变。

　(2) 对机械能守恒定律的理解

　 ①机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。另外小球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度。

　 ②当研究对象(除地球以外)只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒；当研究对象(除地球以外)由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判定机械能是否守恒。

　 ③“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。在该过程中，物体可以受其它力的作用，只要这些力不做功。

(3)系统机械能守恒的表达式有以下三种：

①系统初态的机械能等于系统末态的机械能

即：或或

②系统重力势能的减少量等于系统动能的增加量，即：或

③若系统内只有A、B两物体，则A物体减少的机械能等于B物体增加的机械能，即：或

2.理解动能和动能定理

(1) 动能是物体运动的状态量，而动能的变化ΔE_K是与物理过程有关的过程量。

(2)动能定理的表述：合外力做的功等于物体动能的变化。(这里的合外力指物体受到的所有外力的合力，包括重力)。表达式为

动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化。实际应用时，后一种表述比较好操作。不必求合力，特别是在全过程的各个阶段受力有变化的情况下，只要把各个力在各个阶段所做的功都按照代数和加起来，就可以得到总功。

①不管是否恒力做功，也不管是否做直线运动，该定理都成立；

②对变力做功，应用动能定理要更方便、更迅捷。

③动能为标量，但仍有正负，分别表动能的增减。