17.(本小题满分12分)

本次高三数学月考试卷中共有8个选择题，每小题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，不选或选错都得0分.某同学对每道题都选出了一个答案，已确定第1-4题的答案都是正确的，对第5、6两道题，他都可判断出其中有两个选项是错误的，但对另两个选项都不能确定哪个正确；对第7题，他可判断出其中一个选项是错误的，但对另三个选项不能确定哪个正确；对第8题，他不理解题意只能乱猜，且各题答对与否相互独立.

(Ⅰ)求该同学在这次月考中选择题至少答对7道题的概率；

(Ⅱ)估计该同学在这次月考中选择题的实际得分最有可能是多少分？

[解](Ⅰ)设该同学在这次月考中选择题“答对8道题”为事件A，“答对7道题”为事件B，则事件A与B互斥.　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1分)

据题意，第1-4题都答对为必然事件，第5、6题答对的概率都为，第7题答对的概率为，

第8题答对的概率为，且各题答对与否相互独立.　　　　　　　　　　　　　　　　 (2分)

所以.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3分)

.　　　　　　　　　 (5分)

　　 .

故该同学在这次月考中选择题至少答对7道题的概率是.　　　　　　　　　　　　 (6分)

(Ⅱ)设该同学在这次月考中选择题的总得分为ξ分，则ξ的可能取值为20，25，30，35，40.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (7分)

若ξ＝20，则只答对第1-4题，其余各题都答错，所以. (8分)

若ξ＝25，则第5-8题只答对1题，

所以.　　　　　　 (9分)

若ξ＝30，则第5-8题只答对2题，

.(10分)

由(Ⅰ)知，，.

所以.　　　　　　　 (11分)

估计该同学在这次月考中选择题的实际得分最有可能是30分.　　　　　　　　　　　 (12分)

16.(本小题满分12分)

在△ABC中，已知AB＝，BC＝1，cosC＝.

(Ⅰ)求sinA的值；

(Ⅱ)求的值.

[解](Ⅰ)因为cosC＝，则sinC＝.　　　　　　　　　　　 (3分)

据正弦定理，有，所以sinA＝.　　　　　　 (6分)

(Ⅱ)由余弦定理，得.

设AC＝b，则，即.　　　　　　　　　　　　 (8分)

解得b＝2或b＝(舍去)，AC＝2.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (9分)

故.　　　　　　　　　 (12分)

15.对于函数f(x)，若在其定义域内存在两个实数a，b(a＜b)，使当x∈[a，b]时，f(x)的值域也是[a，b]，则称函数f(x)为“科比函数”.

(1)给出下列两个函数：①；②，其中是“科比函数”的函数序号是 ② .

(2)若函数是“科比函数”，则实数k的取值范围是.

[解](1)因为是增函数，若f(x)为“科比函数”，则f(a)＝a，f(b)＝b，即

a+1＝a，b+1＝b，无解，所以不是“科比函数”.

因为当x∈[0，1]时，∈[0，1]，所以是“科比函数”.

(2)因为是增函数，若是“科比函数”，则存在实数a，b(－2≤a＜b)，使，即.所以a，b为方程的两个实数根，从而方程有两个不等实根.

令，则.当t＝0时，k＝－2；当t＝时，k＝.

由图可知，当时，直线y＝k与曲线有两个不同交点，即方程有两个不等实根，故实数k的取值范围是.

14.如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，以AB为直径的圆交BC于点D，过点D作该圆的切线，交AC于点E，则CE＝.

[解]设圆心为O，连结OD，AD，则OD⊥DE，AD⊥BC.

因为AB＝AC，所以D为BC的中点，从而OD是△ABC的

中位线，所以OD∥AC，于是AC⊥DE.

在Rt△ADC中，由射影定理，得CD²＝CE·CA.

因为CD＝3，CA＝4，所以CE＝.

13.某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：°C)之间有下列数据：

甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了x与y之间的三个线性回归方程：

①；②；③，其中正确方程的序号是　 ②　 .

[解]因为，.

由于回归方程必过点()，将点(0，2.8)逐一代入验证得，方程②满足要求.

12.已知实数x，y满足，由柯西不等式可得x+y的最小值为　 2　 .

[解]由柯西不等式，得，即

，所以x+y≥2.当且仅当，即时等号成立，故x+y的最小值为2.

11.已知平面向量a，b，c满足：a⊥c，b·c＝－2，|c|＝2，若存在实数λ使得c＝a+λb，则λ的值为　 －2　 .

[解]由已知，，即＝+.

又＝2，＝0，＝－2，所以－2＝4，即.

10.某企业在今年九月生产了A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下统计表格：

产品类别	A	B	C
产品数量(件)		1300
样本容量		130

　 由于统计员不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，但统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10件.根据以上信息，可得C产品的数量是　 800　 件．

[解]设C产品的样本容量为，因为抽样比例为，则

，解得．所以C产品的数量是件．

9.已知集合，，若R，则实数的取值范围是 (1，5)　 .

[解]由已知可得，，.

因为R，则，即，故的取值范围是(1，5).

8.如图，一个质点从原点出发，在x轴、y轴的平行方向按

(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→(2，0)→(2，2)→…

　的规律向前移动，且每秒钟移动一个单位长度，那么到第

　2009秒时，这个质点所处位置的坐标是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( B )

　A. (14，44)　　　　　　　　 B. (15，44)

C. (44，14)　　　　　　　　 D. (44，15)

[解]由图可知，质点走完一个矩形回路所走路程依次为

3，5，7，…，(2n+1)个单位长度.

由3+5+7+…+(2n+1)＜2009，得n≤43.当质点走完第43个正方形时，共走了1935个单位长度，余下74个单位长度从(43，0)→(44，44)有45个单位，再向左走29个单位即可，此时质点的坐标为(15，44)，故选B.