2.与几何概型有关的实际问题：长度问题、面积问题、体积问题、等候问题、约会问题、点集问题等等。

[精典范例]

例1　 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？

[分析]病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率．

[解]取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则

答：所求概率为．

例2　 如图，，，，在线段上任取一点，

试求：(1)为钝角三角形的概率；

(2)为锐角三角形的概率．

[解]如图，由平面几何知识：

当时，；

当时，，．

(1)当且仅当点在线段或上时，为钝角三角形

记＂为钝角三角形＂为事件，则

即为钝角三角形的概率为．

(2)当且仅当点在线段上时，为锐角三角，

记＂为锐角三角＂为事件，则

即为锐角三角形的概率为．

例3 一只蚂蚁在一边长为6的正方形区域内随机地爬行,求其恰在离四个顶点距离都大于3的地方的概率.

[解]

例4 　利用随机模拟方法计算曲线，，和所围成的图形的面积．

[分析]在直角坐标系中画出正方形(，，，所围成的部分)，用随机模拟的方法可以得到它的面积的近似值．

[解](1)利用计算器或计算机产生两组到区间上的随机数，，；

(2)进行平移变换：；(其中分别为随机点的横坐标和纵坐标)

(3)数出落在阴影内的点数，用几何概型公式计算阴影部分的面积．

例如，做次试验，即，模拟得到，

所以，即．

[说明]模拟计算的步骤：

(1)构造图形(作图)；

(2)模拟投点，计算落在阴影部分的点的频率；

(3)利用算出相应的量．

追踪训练

1.几何概型的概率：

一般地，在几何区域中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域内＂为事件，则事件发生的概率．

2、将实际问题转化为几何概型，并正确应用几何概型的概率计算公式解决问题．

[课堂互动]

自学评价

1、增强几何概型在解决实际问题中的应用意识．

3、某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台的整点报时,求他等待的时间不多于15分钟的概率.

解：由几何概型的求概率的公式得,即“等待整点报时的时间不超过15分钟”的概率为.

2、在区间内的所有实数中,随机取一个实数,则这个实数的概率是_____.

1、已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，求乘客到达站台立即乘上车的概率．

解：由几何概型知，所求事件A的概率为：

．

2、熟练运用几何概型解决关于时间类型问题.

[课堂互动]

自学评价

例1 在等腰直角三角形中，在斜边上任取一点，求小于的概率．(＂测度＂为长度)

[分析]点随机地落在线段上，故线段为区域．当点位于图中线段内时，，故线段即为区域．

[解]在上截取．于是

　　　．

答：小于的概率为．　　　　　　

例2 　某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．

[分析]假设他在0-60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.

[解]设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等车时间不多于10分钟的概率为．

[说明]在本例中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从[0,60]上的均匀分布，X为[0,60]上的均匀随机数．

[小结]在许多实际问题中，其几何概型特征并不明显，要能将它们转化为几何概型，并正确应用几何概型的概率计算公式解决问题．如与时间有关的等候问题、约会问题，与数域有关的点集问题等等。

[精典范例]

例3 有一个半径为的圆，现在将一枚半径为硬币向圆投去，如果不考虑硬币完全落在圆外的情况，试求硬币完全落入圆内的概率．

[解]由题意，如图，因为硬币完全落在圆外的情况是不考虑的，所以硬币的中心均匀地分布在半径为的圆内，且只有中心落入与圆同心且半径为的圆内时，硬币才完全落如圆内．记＂硬币完全落入圆内＂为事件，则．

答：硬币完全落入圆内的概率为．

例4　 约会问题

两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去，试求这两人能会面的概率．

[解]以分别表示两人的到达时刻，则两人能会面的充要条件为，这是一个几何概率问题，可能的结果全体是边长为60的正方形里的点，能会面的点的区域用阴影标出(如上图)．所求概率为

．

答：两人会面的概率为．

追踪训练

1、能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想；

3、靶子由三个半径分别为R,2R,3R的同心圆组成,如果你向靶子随机地掷一个飞镖,命中半径分别为R区域,2R区域,3R区域的概率分别为,则=______.