例1、已知函数y=f(x)对任意x,y∈R均为f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0,f(1)= －.

(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；

(2)求f(x)在[－3，3]上的最大、小值。

思维分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用。

5．定义在实数集上的函数f(x)，对任意，有且。

(1)求证；(2)求证：是偶函数。

[师生互动]

3. 是奇函数，它在区间(其中)上为增函数，则它在区间上(　　 )

　　 A. 是减函数且有最大值

　　 B. 是减函数且有最小值

　　 C. 是增函数且有最小值

　　 D. 是增函数且有最大值

4已知函数ax⁷+6x⁵+cx³+dx+8，且f(－5)= －15，则f(5)= 　　　　　．

2. 定义在(－∞，+∞)上的函数满足f(－x)=f(x)且f(x)在(0，+∞)上，则不等式f(a)<f(b)等价于(　 　　)

A.a<b　　　　　　　　　 B.a>b　 　　

C.|a|<|b|　　　　　　　 D.0≤a<b或a>b≥0

　　若函数是偶函数，则该函数在关于＂0＂对称的区间上的单调性是相反的，且一般情况下偶函数在定义域上不是单调函数；若函数是奇函数，则该函数在关于＂0＂对称区间上的点调性是相同的．

追踪训练

1．已知是偶函数，其图象与轴共有四个交点，则方程的所有实数解的和是　 　　　　　 (　　 )

　 4　　 2　 0　　 不能确定

3. 　函数是定义在上的奇函数，且为增函数，若，求实数a的范围。

思维点拔：

2. 定义在上的奇函数，则常数　　　 ，　　　 ；

例2：已知是定义域为的奇函数，当x>0时，f(x)=x|x－2|，求x<0时，f(x)的解析式．

3：定义在(－2，2)上的奇函数在整个定义域上是减函数，若f(m－1)+f(2m－1)>0，

求实数m的取值范围．

追踪训练一

1.　　　 设是定义在R上的偶函数,且在[0，+∞)上是减函数,则f(－)与f(a²－a+1)

()的大小关系是　 (　 )

　　　 A． f(－)<f(a²－a+1)　　　　　　　　　　　　　

B． f(－)≥f(a²－a+1)

C． f(－)>f(a²－a+1)

　　　 D．与a的取值无关

例1：已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<0，试问：F(x)=在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论

思维分析：根据函数单调性的定义，可以设x₁<x₂<0，进而判断：

F(x₁) －F(x₂)= －=符号解：任取x₁，x₂∈(－∞，0)，且x₁<x₂，则－x₁>－x₂>0

因为y=f(x)在(0，+∞]上是增函数，且f(x)<0，

所以f(－x₂)<f(－x₁)<0，①又因为f(x)是奇函数

所以f(－x₂)= －f(x₂)，f(－x₁)=f(x₁)②

由①②得f(x₂)>f(x₁)>0

于是F(x₁) －F(x₂)= －

所以F(x)=在(－∞，0)上是减函数。

说明：一般情况下，若要证在区间上单调，就在区间上设．

5．若是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，求的表达式．

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