0  249861  249869  249875  249879  249885  249887  249891  249897  249899  249905  249911  249915  249917  249921  249927  249929  249935  249939  249941  249945  249947  249951  249953  249955  249956  249957  249959  249960  249961  249963  249965  249969  249971  249975  249977  249981  249987  249989  249995  249999  250001  250005  250011  250017  250019  250025  250029  250031  250037  250041  250047  250055  447090 

例4: 利用指数的运算法则,解下列方程:

(1)43x+2=256×81-x

(2)2x+2-6×2x-1-8=0

解:(1)因为43x+2=256×81-x

所以26x+4=28×23-3x

所以6x+4=11-3x

所以x=

(2)因为2x+2-6×2x-1-8=0

所以4×2x-3×2x-8=0

所以2x=8

所以x=3

分析:利用分数指数幂的性质将方程两边转化为同底的指数幂.

[解](1)原方程可化为:

,∴

原方程的解为.

(2)原方程可化为:

原方程的解为.

点评:将指数方程转化为一元一次或一元二次方程是解题的关键.

思维点拔:

(1)根式与分数指数幂运算要灵活地互化;(2)一般地在化简过程中,先将根式化为分数指数幂,然后利用同底运算性质进行运算.

追踪训练二

1.化简:

解:

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3.若,则

学生质疑
 
教师释疑
 

试题详情

2.在①;②;③;④()各式中,有意义的是(  )

①②  ①③  ①②③④ ①③④

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例4:解下列方程(1)

(2)

分析:对原方程因式分解。

[解](1)原方程可化为

原方程的根为

(2)原方程可化为

,∴

原方程的根为

点评:通过因式分解把原方程转化为二项方程,再利用根式意义求解。

思维点拔:

(1)求根式的值时要注意使根式有意义的被开方数的取值范围;(2)求形如的根式的值时要分清的奇偶性.

追踪训练二

1.成立的条件是(  )

   

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5、若f:y=3x+1是从集合A={1,2,3,k}到集合B={4,7,a4,a2+3a}的一个映射,该映射满足B中任何一个元素均有原象,求自然数a、k及集合A、B.

答案:a=2,  k=5,  A={1,2,3,5}  B={4,7,10,16}

[师生互动]

学生质疑
 
教师释疑
 

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4、已知映射f: A→B,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B中元素都是A中的元素在映射f下的象,且对任意a∈A,在B中和它对应的元素是|a|,则集合B中的元素的个数是(   )

A.4        B.5         C.6     D.7

答案:A

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3、已知映射f: A→B,下面命题:

(1)A中的每一个元素在B中有且仅有一个象;

(2)A中不同的元素在B中的象必不相同;

(3)B中的元素在A中都有原象

(4)B中的元素在A中可以有两个以上的原象也可以没有原象。

假命题的个数是(  )

A.1        B.2         C.3        D.4

答案:B

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2、设f:A→B是集合A到B的映射,下列命题中是真命题的是(   )

A.A中不同元素必有不同的象

B.B中每一个元素在A中必有原象

C.A中每一个元素在B中必有象

D.B中每一个元素在A中的原象唯一

答案:C

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例3、给出下列四个对应的关系

①A=N*,B=Z,f:x→y=2x-3;

②A={1,2,3,4,5,6},B={y|y∈N*,y≤5},f:x→y=|x-1|;

③A={x|x≥2},B={y|y=x2-4x+3},f:x→y=x-3;

④A=N,B={y∈N*|y=2x-1,x∈N*},f:x→y=2x-1。

上述四个对应中是函数的有(   )

A.①           B.①③         C.②③         D.③④

思维分析:判断两个集合之间的对应是否构成函数,首先应判断能否构成映射,且构成映射的两个集合之间对应必须是非空数集之间的对应。

[解]:

①中,对x∈A,在f作用下,在B中都有唯一的象,因此能构成映射.由于A、B均为非空数集,因而能构成函数;②中,当x=1时,y=0B,即集合A中的元素1在集合B中无象,因而不能构成映射,从而也不能构成函数;④中,当x=0时,y=-1B,即0在B中无象,因而不能构成映射,也就不能构成函数;③中的两个对应符合映射的定义,且两个集合均为非空数集,因而能构成函数。

答案:B

[选修延伸]

求映射的个数问题

例4、已知A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f:A→B满足f(a)+f(b)=f(c),求映射f: A→B的个数。

思维分析:可让A中元素在f下对应B中的一个、两个或三个元素,并且满足f(a)+f(b)=f(c),需分类讨论。

[解]:(1)当A中三个元素都是对应0时,则f(a)+f(b)=0+0=0=f(c)有1个映射。

(2)当A中三个元素对应B中两个时,满足f(a)+f(b)=f(c)的映射有4个,分别为1+0=0,0+1=0,(-1)+0=-1,0+(-1)=-1.

(3)当A中的三个元素对应B中的三个元素时,有两个映射,分别为(-1)+1=0,1+(-1)=0.

因此满足题设条件的映射有7个。

追踪训练

1、下列对应是A到B上的映射的是(  )

A.A=N*,B=N*,f:x→|x-3|

B.A=N*,B={-1,1, -2},f:x→(-1)x

C.A=Z,B=Q,f:x→

D.A=N*,B=R,f:x→x的平方根

答案:B

试题详情

例2、已知集合A=R,B={(x,y)|x,y∈R},f:A→B是从A到B的映射,f:x→(x+1,x2+1),求A中的元素在B中的象和B中元素(,)在A中的原象。

思维分析:将x=代入对应关系,可求出其在B中对应元素,(,)在A中对应的元素可通过列方程组解出。

[解]:

将x=代入对应关系,可求出其在B中的对应元素(+1,3). 可通过列方程组也可求出(,)在A中对应的元素为

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