3、已知函数f(x)的定义域是(0，+∞)，且对任意的x、y>0满足f()=f(x)－f(y)，当x>1时有f(x)<0，试判断f(x)的单调性并证明.

解答：f(x)在(0，+∞)上是减函数。证明略。

2、若函数f(x)满足f(x+y)+f(x－y)=f(x²－y²)，则f(x)可以是(　　 )

A.f(x)=2x　　　　　　　　　　 B.f(x)=x²　　　　　　　　　　 C.f(x)=log₂x　　　　　　　　 D.f(x)=2^x

解答：C

例3: 已知：在上恒有，求实数的取值范围。

分析：去掉绝对值符号，转化为含对数式的不等式。

[解]∵，∴当时，，由在上恒成立 ，得　 在上恒成立，

∴，∴　 (1)

当时，，由在上恒成立 ，得　 在上恒成立，∴，

∴(2)

由(1)(2)可知，实数的取值范围为

思维点拔：

本题的特点是给出了自变量的取值范围，求字母的取值范围，它与解不等式有本质的区别，在上恒成立，是指在

上的所有值都大于1，这是一个不定问题，但转化为函数的最大(最小)值后，问题就简单了，这类问题的一般结论是：

(1)(为常数，)恒成立，

(2)(为常数，)恒成立，

利用这两个结论，可以把“不定”问题转化为“定”的问题。

追踪训练

1、解不等式

解答：{x|－1<x<－}∪{x|<x<1}

例2、已知函数f(x)的定义域是(0，+∞)，满足f(4)=1，f(xy)=f(x)+f(y).(1)证明f(1)=0；(2)求f(16)；(3)试证f(xⁿ)=nf(x)，n∈N*.

思维分析：这显然是一个抽象函数。根据题目给定的三个条件，可以将对数函数y=log₄x作为该函数的原型，从而找到问题的解决思路与方法。

(1)证明：令x=y=1，则得f(1)=f(1)+f(1)，故f(1)=0；

(2)解：令x=y=4，则有f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=1+1=2；

(3)证明：f(xⁿ)=f(x·x·…·x)　 (n个x)

=f(x)+f(x)+…+f(x)=nf(x)　 (n个f(x))

例1、解关于x的对数不等式；

2 log_a (x－4)>log_a(x－2).

思维分析：可以去掉对数符号，化为一般的代数不等式求解；同时考虑到底数a的取值范围不确定，故应进行分类讨论。

解：原不等式等价于

(1)当a>1时，又等价于

解之，得x>6。

(2)当0<a<1时，又等价于

解之，得4<x<6.

综上，不等式的解集，当a>1时，为(6，+ ∞)；

当0<a<1时，为(4,6).

例4:若方程的所有解都大于1，求的取值范围。

分析：由对数函数的性质，方程可变形为关于的一元二次方程，化归为一元二次方程解的讨论。

[解]原方程可化为：

即

令，则方程等价于

若原方程的所有解都大于1，则方程(*)的所有解都大于0，则

解得：

思维点拔：

(1)有关对数方程解的情况讨论，通常是利用换元法，将方程转化为一元一次或一元二次方程解的讨论；如果是方程解的个数问题，又可以用函数的图象求解，如求方程的实根的个数。

(2)换元后必须保证新变量与所替换的量的取值范围的一致性。

追踪训练二

1．　 已知方程

(1)若方程有且只有一个根，求的取值范围 ．

(2)若方程无实数根，求的取值范围 ．

答案：(1)

　　 (2)

3．图象略函数的图象向右平移2个单位得到的图象。

[选修延伸]

例4: 已知，比较，的大小。

[分析]：由条件可得：

；

所以，，则。

[变式]：已知，则，的大小又如何？

[解]∵，

　 ∴，

当，时，得，

∴， ∴．

当，时，得，

∴， ∴．

当，时，得，，

∴，， ∴．

综上所述，，的大小关系为或或

思维点拔：

对于不同底的对数式，一般的方法是转化为同底的对数式，然后再利用对数函数的单调性求解，此类题目也可以用对数函数的图象的分布特征求解。数形结合是解决函数问题的重要思想方法。

追踪训练二

1比较下列各组值的大小．

　，，

答案：

2．(1)　 (2)

3.画出函数与的图象，并指出这两个函数图象之间的关系。

答案：1。(1)；

(2)

2.解下列不等式：

(1)　　 (2)