例5: 若过原点的直线与连结的线段相交，求直线的倾斜角和斜率的取值范围．

分析：结合图形可知，直线介于直线之间，即可得倾斜角范围；再根据倾斜角变化时，斜率变化规律可得斜率范围．

答案：倾斜角范围，斜率范围．

追踪训练二

1．已知，则直线的倾斜角和斜率分别为(　 　)

3.已知过点，的直线的斜率为，则实数的值为.

2. 求证：三点共线． 提示：∵，∴三点共线．

例4：已知三点在一条直线上，求实数的值．

[解]由题意，，

∴，∴或．

点评：共线三点中任意两点确定的直线斜率相等．

思维点拔：

任何直线都有倾斜角和斜率吗？

根据直线倾斜角和斜率的概念，任何直线都有倾斜角．特别地，当直线与轴平行或重合时，倾斜角为；当直线与轴垂直时，倾斜角为，此时直线斜率不存在．因此，除倾斜角为的直线外，其他直线都有斜率．

追踪训练

1.的三个顶点，，写出三边所在直线的斜率：，，．

1．直线的斜率：已知两点，如果,那么，直线的斜率为；此时，斜率也可看成是

．

[精典范例]

例1：如图，直线都经过点，又分别经过点，，试计算直线的斜率．

[解]设的斜率分别为，

则，

由图可知，

(1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜()，此时直线倾斜角为锐角；

(2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜()，此时直线倾斜角为钝角；

(3)当直线的斜率为0时，直线与轴平行或重合()，此时直线倾斜角为．

例2：已知直线经过点、，求直线的斜率．

[解]当时，直线的斜率不存在，此时倾斜角为；

　当时，

直线的斜率．

点评:运用斜率公式求直线斜率时，一定要注意公式中的条件．

例3：经过点画直线，使直线的斜率分别为：(1)；(2)．

分析：根据两点确定一条直线，只需再确定直线上另一个点的位置．

[解](1)根据斜率，斜率为表示直线上的任一点沿轴方向向右平移4个单位，再沿轴方向向上平移3个单位后仍在此直线上，将点沿轴方向向右平移4个单位，再沿

轴方向向上平移3个单位后得点，即可确定直线．

(2)∵，

∴将点沿轴方向向右平移5个单位，再沿轴方向向下平移4个单位后得点，即可确定直线．

[选修延伸]

2．掌握过两点的直线斜率的计算公式．

[课堂互动]

自学评价

重点：

直线的斜率和倾斜角的概念，过两点的直线的斜率的计算公式；直线的方程的几种形式，会根据已知条件选择恰当的形式表示直线；两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离；根据斜率判定两直线的平行或垂直关系，会求两直线的交点坐标；

圆的标准方程与一般方程的概念，会根据条件选择恰当的形式求圆的方程；能根据给定直线与圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；

会用空间直角坐标系刻画点的位置，会用距离公式求空间两点间的距离．

难点：

几种形式的直线方程的推导；圆的标准方程的推导；直线与圆、圆与圆的位置关系中有关问题的探索．

第1课 直线的斜率(1)

[学习导航]

知识网络

学习要求

1．理解直线的斜率的概念；

例4: 讨论方程 的几何意义．

分析：类比空间两点的距离公式，构造点

[解]因为，

所以

即动点到定点的距离等于4，　

所以．

表示动点的轨迹：一个半径为4，球心为的球面

思维点拔：

注意类比方法在解决一些空间问题中的应用．

追踪训练二

1. 试解释方程

的几何意义．

答案：方程表示点与点的距离为，即点在以点为球心，半径为的球面上．

例4: 求点关于平面，平面及原点的对称点．

[解]在平面上的射影为在平面上的射影为，关于平面的对称点为关于平面及原点的对称点分别为、

点评:一般的，点关于平面的对称点为，关于平面的对称点为，关于平面的对称点为，关于原点的对称点

追踪训练二

1．写出分别在坐标轴、坐标平面上的点的坐标所满足的条件．

2．已知一个圆经过直线与圆的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程．

答案：．