3．能用自然语言描述简单的算法.

[课堂互动]

自学评价

问题1　 简述给一个朋友打电话的过程.

[解]过程如:找出电话本、找到朋友电话号码、拨通电话、通话等。

问题2　 常有这样一种娱乐节目：就是猜数，让参加者从0~1000中猜出某商品的价格，猜测了以后，主持人说是高了，还是低了，然后再猜，直到猜中为止.而在这游戏中，较好的方法就是二分法：

第一步　 报出500

第二步　 如果是说高了，就再报250；如果低了，就报750；

第三步　 在前一个数与再前一个数之间，取它们的中间值；直到猜中为止.

问题3　 给出求1+2+3+4+5的一个算法

[解]方法1　 按照逐一相加的程序进行.

第一步 计算1+2，得到3

第二步 将第一步中的运算结果3与3相加，得到6.

第三步 将第二步中的运算结果6与4相加，得到10.

第四步 将第三步中的运算结果10与5相加，得到15.

方法2：可以运用公式

直接计算.

第一步 取n=5；

第二步 计算；

第三步 输出运算结果.

[小结]

算法(algorithm)的含义:对一类问题的机械的、统一的求解方法.　　 　　

本章所研究的算法特指用计算机解决数学问题的方法.

[体会]算法具有不唯一性.

问题4　 给出求解方程组

的一个算法.

[解]用消元法求解这个方程组，算法如下：

第一步　 方程①不动，将方程②中的x的系数除以方程①中的x系数，得到乘数；

第二步　 方程②减去m乘以方程①，消去方程②中的x项，得到,

第三步　 将上面的方程组自下而上回代求解，得到.

所以原方程的解为.

[说明]这种消元回代的算法适用于一般的线性方程组的求解.

[小结]算法从初始步骤开始，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，从而组成一个步骤序列，序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解答. 算法具有如下两个性质:

有限性：一个算法在执行有限个步骤后必须结束.

　　 确定性：算法的每一个步骤和次序都应该是确定的、明确无误的,不应产生歧义.

[经典范例]

例1　 写出解方程的一个算法

[解]算法如下:

第一步：把3移到等号的右边.

第二步：用-3除以2得到

例2 写出求的一个算法.

[解]按照逐一相加的程序进行.

第一步 计算1×3，得到3

第二步 将第一步中的运算结果3与5相乘，得到15.

第三步 将第二步中的运算结果15与7相乘，得到105.

例3 已知直角坐标系中的两点A(-1，0)，B(3，2)，写出求直线AB的方程的一个算法.

[解]算法如下:

第一步 计算斜率；

第二步 用点斜式写出直线方程

.

第三步 化简得方程.

例4 写出求1+2+3+…+100的一个算法.

[解]可以运用公式

直接计算.

算法如下:

第一步　 取n=100；

第二步　 计算.

第三步　 输出运算结果

[选修延伸]

例5　 设计一个算法,找出三个数a,b,c中的最大数.

[解]算法如下:

第一步 比较a,b大小，若a小，则转第二步；若a大，则转第三步；

第二步 比较b,c大小，若b小，则c是最大数，若b大，则b是最大数，结束任务；

第三步 比较a,c大小，若a小，则c是最大数，若a大，则a是最大数，结束任务。

例6 (1)写出解不等式x²-2x-3<0的一个算法；

(2)写出解不等式ax²+bx+c>0(a>0)的一个算法。

[解](1)算法如下:

第一步　 解出方程x²-2x-3=0的两根是x₁=3，x₂= -1；

第二步 由x²-2x-3<0可知不等式的解集为{x | -1<x<3}.

(2)算法如下:

第一步　 计算△= ；

第二步　 若△>0，解出方程ax²+bx+c=0的两根(设x₁>x₂)，则不等式解集为{x | x>x₁或x<x₂}；

第三步 若△= 0，则不等式解集为{x | x∈R且x}；

第四步 若△<0，则不等式的解集为R.

追踪训练

2．通过实例分析理解算法的有限性和确定性.

1．理解算法的含义

4．李老师为了分析一次数学考试情况，全校抽了50人，将分数分成5组，第一组到第三组的频数10,23,11,第四组的频率为0.08,那么落在第五组(89.5~99.5分)的频数是多少？频率是多少？全校300人中分数在89.5~99.5中的约有多少人？

解:　 频率是每一小组的频数与数据总数的比值，第四组的频率是0.08，则第四组的频数是4,从而可求出第五组的频数、频率，并由样本估计出全校300人中分数在89.5~99.5之间的人数．第四组的频数为，第五组的频数为50-10-23-11-4=2，频率为，所以全校在89.5~99.5之间的约有人．

3．一本书中，分组统计100个句子中的字数，得出下列结果：字数1-5个的15句，字数6-10个的27句，字数11-15个的32句，字数16-20个的15字，字数21-25个的8句，字数26-30个的3句，请作出字数的频率分布表，并利用组中值对该书中平均每个句子包含的字数作出估计。

可以估计，该书中平均每个句子子包含字数为：

3×0.15+8×0.27+13×0.32+18×0.15+23×0.08+28×0.03≈12个.

2．下面是不同厂家生产的手提式电脑的重量(单位：kg)，试列出其频率分布表

分析：全距 3.2-1.5=1.7　 故可取区间［1.45,3.25］ 并将此区间分成6个小区间

分　 组	频数累计	频　 数	频　 率
	4	4	0．20
	9	5	0．25
	12	3	0．15
	17	5	0．25
	18	1	0．05
	20	2	0．10
合　 计		20	1

1．一个容量为20的数据样本，分组与频数为：，，，，，，则样本数据在区间上的可能性为(　 D　　 )

(A)5%　　　　　　　　　 (B)25%　　　 (C)50%　　　　　　　　　 (D)70%

25.235 - 25.565=0.33

2)组距为

3)

分　 组	频数累计	频　 数	频　 率
	1	1	0．01
	3	2	0．02
	8	5	0．05
	20	12	0．12
	38	18	0．18
	63	25	0．25
	79	16	0．16
	92	13	0．13
	96	4	0．04
	98	2	0．　 02
	100	2	0．02
合　 计		100	1

4)尺寸在之间的零件的累计频率为0.12+0.18+0.25+0.16+0.13=0.84<0.85

故这批零件不能通过抽样检验。

追踪训练一

2．自己亲自体验制作频率分布表的过程，注意分组合理并确定恰当的组距；

[课堂互动]

自学评价

案例1　 为了了解7月25日至8月24日北京地区的气温分布状况，我们对往年份这段时间的日最高气温进行抽样，并对得到的数据进行分析．我们随机抽取近年来北京地区7月25日至8月24日的日最高气温，得到如下样本(单位:℃):

怎样通过上表中的数据，分析比较两时间段的高温(≥33℃)状况呢?

[分析]

要比较两时间段的高温状况，最直接的方法就是分别统计这两时间段中高温天数．如果天数差距明显，则结论显然，若天数差距不明显，可结合其它因素再综合考虑．上面两样本中的高温天数的频率用下表表示:

由此表可以发现，近年来，北京地区7月25日至8月10日的高温天气的频率明显高于8月8日至8月24日．

上例说明，当总体很大或不便于获得时，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布．我们把反映总体频率分布的表格称为频率分布表．

案例2　 从某校高一年级的1002名新生中用系统抽样的方法抽取一个容量为100的身高样本，数据如下(单位：cm)。试作出该样本的样本的频率分布表。

[分析]该组数据中最小值为151，最大值为180，它们相差29，可取区间[150.5,180.5］，并将此区间分成10个小区间，每个小区间长度为3，再统计出每个区间内的频数并计算相应的频率，我们将整个取值区间的长度称为全距，分成的区间的长度称为组距。

[解]

(1)在全部数据中找出最大值180和最小值151，则两者之差为29，确定全距为30，决定以组距3将区间［150.5，180.5］分成10个组；

(2)从第一组开始，分别统计各组中的频数，再计算各组的频率，并将结果填入下表：　　　

分　 组	频数累计	频数	频率
	4	4	0.04
	12	8	0.08
	20	8	0.08
	31	11	0.11
	53	22	0.22
	72	19	0.19
	86	14	0.14
	93	7	0.07
	97	4	0.04
	100	3	0.03
合　 计		100	1

[小结]编制频率分布表的步骤如下：

(1)求全距，决定组数和组距，组距=全距/组数；

(2)分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；

(3)登记频数，计算频率，列出频率分布表．

在分组时，为了容易看出规律，一般分组使每组的长度相等，组数不宜太多也不宜太少．一般地,称区间的左端点为 为下组限，右端点 为上组限。我们可以采用下组限在内而上组限不在内的分组方法，也可采用下组限不在内而上组限在内 的分组方法。如果取全距时不利于分组(如不能被组数整除)，如何处理可适当增大全距，如在左、右两端各增加适当范围(尽量使两端增加的量相同.

精典范例

例1　 某铸件厂从规定尺寸为25.40mm的一堆零件中任取100件，测得它们的实际尺寸如下：

1)这100件零件尺寸的全距是多少？

2)如果将这100个数据分为11组，则如何分组？组距为多少？

3)画出以上数据的频率分布表。

4)如果规定尺寸在之间的零件为合格产品抽样检查，合格品率大于85%，这批零件才能通过检验，则这批产品能通过检验吗？

[解]

1)该组数据中最小值为25.24，最大值为25.56，它们相差0.32，故可取区间

［25.235，25.565］，并将此区间等分成11个区间，这100个零件尺寸的全距为

1．感受如何用样本频率分布表去估计总体分布；