证：∵　　 ∴

从而可得移项法则：

推论：如果且，那么　　　 (相加法则)

证：

推论：如果且，那么　 (相减法则)

证：∵　 ∴　

或证：

　　　　 上式>0　 ………

2．性质4：如果且,　 那么；

如果且那么 (乘法单调性)

证：　　　　　 ∵　 ∴

根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：

时即：

时即：

推论1　 如果且，那么(相乘法则)

证：

推论1’(补充)如果且，那么(相除法则)

证：∵　 ∴

推论2　 如果, 那么　

(三)　　　　 解答题

16、　　　 已知tan(α-β)=，tanβ=，α，β∈(-π，0)，求2α-β的值。

17、　　　 是否存在实数a，使得函数y=sin²x+acosx+在闭区间[0，]上的最大值是1？若存在，求出对应的a值。

　　 18、已知f(x)=5sinxcosx-cos²x+(x∈R)

(1)　　 求f(x)的最小正周期；

(2)　　 求f(x)单调区间；

(3)　　 求f(x)图象的对称轴，对称中心。

(二)　　　　 填空题

11、　　　 函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)的图象关于y轴对称，则θ=________。

12、　　　 已知α+β=，且(tanαtanβ+c)+tanα=0(c为常数)，那么tanβ=______。

13、　　　 函数y=2sinxcosx-(cos²x-sin²x)的最大值与最小值的积为________。

14、　　　 已知(x-1)²+(y-1)²=1，则x+y的最大值为________。

15、　　　 函数f(x)=sin3x图象的对称中心是________。

(一)　　　　 选择题

　　 1、下列函数中，既是(0，)上的增函数，又是以π为周期的偶函数是

A、y=lgx²　　　　 B、y=|sinx|　　　 C、y=cosx　　　 D、y=

2、　　　　　　 如果函数y=sin2x+acos2x图象关于直线x=-对称，则a值为

A、　　　　　　 -　　　　 B、-1　　　　　　 C、1　　　　　 D、

　　 3、函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，φ>0)，在一个周期内，当x=时，y_max=2；当x=时，y_min=-2，则此函数解析式为

A、　　　　　　　　 B、

C、　　　　　　　　　 D、

4、已知=1998，则的值为

A、1997　　　　　 B、1998　　　　　 C、1999　　　 　D、2000

5、已知tanα，tanβ是方程两根，且α，β，则α+β等于

A、　　　　 B、或　　　 C、或　 D、

6、若，则sinx·siny的最小值为

A、-1　　　　　　 B、-　　　　　　 C、　　　　 D、

7、函数f(x)=3sin(x+10⁰)+5sin(x+70⁰)的最大值是

A、5.5　　　　　 B、6.5　　　　　　 C、7　　　　　 D、8

8、若θ∈(0，2π]，则使sinθ<cosθ<cotθ<tanθ成立的θ取值范围是

A、()　　　 B、()　　　 C、()　 D、()

9、下列命题正确的是

A、　　　　　　 若α，β是第一象限角，α>β，则sinα>sinβ

B、　　　　　　 函数y=sinx·cotx的单调区间是，k∈Z

C、　　　　　　 函数的最小正周期是2π

D、　　　　　　 函数y=sinxcos2φ-cosxsin2x的图象关于y轴对称，则，k∈Z

10、　　　 函数的单调减区间是

A、　　　　　　 　　　　　　　B、

B、　　　　　　 　　　　　　D、 k∈Z

例1、　 已知函数f(x)=

(1)　　 求它的定义域和值域；

(2)　　 求它的单调区间；

(3)　　 判断它的奇偶性；

(4)　　 判断它的周期性。

分析：

　 (1)x必须满足sinx-cosx>0，利用单位圆中的三角函数线及，k∈Z

∴ 函数定义域为，k∈Z

∵

∴ 当x∈时，

∴

∴

∴ 函数值域为[)

　 (3)∵ f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称

∴ f(x)不具备奇偶性

　 (4)∵ f(x+2π)=f(x)

∴ 函数f(x)最小正周期为2π

注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx的符号；

以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx的符号，如图。

例2、　 化简，α∈(π，2π)

分析：

凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式

∵

∴ 原式=

∵ α∈(π，2π)

∴

∴

当时，

∴ 原式=

当时，

∴ 原式=

∴ 原式=

注：

　　 1、本题利用了“1”的逆代技巧，即化1为，是欲擒故纵原则。一般地有，，。

　　 2、三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为(取)是常用变形手段。特别是与特殊角有关的sin±cosx，±sinx±cosx，要熟练掌握变形结论。

例3、　 求。

分析：

原式=

注：在化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式，还需用到代数变形公式，如本题平方差公式。

例4、已知0⁰<α<β<90⁰，且sinα，sinβ是方程=0的两个实数根，求sin(β-5α)的值。

分析：

由韦达定理得sinα+sinβ=cos40⁰，sinαsinβ=cos²40⁰-

∴ sinβ-sinα=

又sinα+sinβ=cos40⁰

∴

∵ 0⁰<α<β< 90⁰

∴

∴ sin(β-5α)=sin60⁰=

注：利用韦达定理变形寻找与sinα，sinβ相关的方程组，在求出sinα，sinβ后再利用单调性求α，β的值。

例5、(1)已知cos(2α+β)+5cosβ=0，求tan(α+β)·tanα的值；

　 (2)已知，求的值。

分析：

(1)　　 从变换角的差异着手。

∵ 2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α

∴ 8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0

展开得：

13cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sinα=0

同除以cos(α+β)cosα得：tan(α+β)tanα=

(2)　　 以三角函数结构特点出发

∵

∴

∴ tanθ=2

∴

注；齐次式是三角函数式中的基本式，其处理方法是化切或降幂。

例6、已知函数(a∈(0，1))，求f(x)的最值，并讨论周期性，奇偶性，单调性。

分析：

对三角函数式降幂

∴ f(x)=

令

则 y=a^u

∴ 0<a<1

∴ y=a^u是减函数

∴ 由得，此为f(x)的减区间

由得，此为f(x)增区间

∵ u(-x)=u(x)

∴ f(x)=f(-x)

∴ f(x)为偶函数

∵ u(x+π)=f(x)

∴ f(x+π)=f(x)

∴ f(x)为周期函数，最小正周期为π

当x=kπ(k∈Z)时，y_min=1

当x=kπ+(k∈Z)时，y_nax=

注：研究三角函数性质，一般降幂化为y=Asin(ωx+φ)等一名一次一项的形式。

同步练习

5、本章思想方法

(1)　　 等价变换。熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题；

(2)　　 数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；

(3)　　 分类讨论。

4、三角函数的性质除了一般函数通性外，还出现了前面几种函数所没有的周期性。周期性的定义：设T为非零常数，若对f(x)定义域中的每一个x，均有f(x+T)=f(x)，则称T为f(x)的周期。当T为f(x)周期时，kT(k∈Z，k≠0)也为f(x)周期。

三角函数图象是性质的重要组成部分。利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法，熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。

3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要熟练地正用、逆用、变用。如倍角公式：cos2α=2cos²α-1=1-2sin²α，变形后得，可以作为降幂公式使用。

三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。

2、利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。

设P(x，y)是角α终边上任一点(与原点不重合)，记，则，，，。

利用三角函数定义，可以得到(1)诱导公式：即与α之间函数值关系(k∈Z)，其规律是“奇变偶不变，符号看象限”；(2)同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系。

1、角的概念的推广。从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于360⁰的角。这样一来，在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定(通常把角的始边放在x轴正半轴上，角的顶点与原点重合，下同)。为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成k·360⁰+α的形式，特例，终边在x轴上的角集合{α|α=k·180⁰，k∈Z}，终边在y轴上的角集合{α|α=k·180⁰+90⁰，k∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k·90⁰，k∈Z}。

在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。

弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧长公式l=|α|R，扇形面积公式，其中α为弧所对圆心角的弧度数。