1．在等比数列{a_n}中，a₁=,q=2,则a₄与a₈的等比中项是( B　 )

A.±4　　 B.4 　　 C.±　　 D. 　

2. (1) 若{a_n}为等比数列，公比为q，则{a_2n}也是等比数列，公比为q².

(2) 若{a_n}为等比数列，公比为q(q≠－1),则{a_2n－1+a_2n}也是等比数列，公比为q².

(3) 若{a_n}、{b_n}是等比数列，则{a_nb_n}也是等比数列.

(4) 三个数a、b、c成等比数列的，则

[精典范例]

[例1]已知四个数前3个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，前后两数之积为－128，求这四个数.

[解] 设所求四个数为

－aq，，aq，aq³

由①得a²＝16　 ∴a＝4或a＝－4由②得2a²q²－a²q⁴＝－128

将a²＝16代入整理得

q⁴－2q²－8＝0解得q²＝4　

∴q＝2或q＝－2

因此所求的四个数为

－4，2，8，32或4，－2，－8，－32.

[点评] 根据四个数前3个成等差，后三个成等比，列方程可利用a、q表示四个数，根据中间两数之积为16，将中间两个数设为，aq这样既可使未知量减少，同时解方程也较为方便.

[例2]若a、b、c成等比数列，

试证：a²+b²，ac+bc，b²+c²也成等比数列.

[证明] 由a、b、c成等比数列，

则a·b·c≠0且b²＝ac

(a²+b²)(b²+c²)＝(a²+ac)(ac+c²)＝ac(a+c)²＝b²(a+c)²＝(ab+bc)²　

显然a²+b²、b²+c²都不等零，

且ab+bc≠0∴a²+b²，ab+bc，b²+c²成等比数列.

[点评] 证明数列成等比数列，可利用等比数列的定义，而证明三个数a，b，c成等比，可证明b²＝ac，要注意说明a、b、c全不为零.

追踪训练一

1. 等比数列的性质：

(1)()；

(2)对于k、l、m、n∈N*，若，则a_ka_l=a_ma_n.；

(3)每隔项()取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列为等比数列；

4)在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。

3．灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.

[自学评价]

2．熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法；

1．灵活应用等比数列的定义及通项公式；

5．已知各项都为正数的等比数列{a_n}中，a₁a₅－2a₃a₅+a₃a₇=36，a₂a₄+2a₂a₆+a₄a₆=100，求数列的通项公式.　

[解] 由已知条件a₁a₅－2a₃a₅+a₃a₇=36,　a₂a₄+2a₂a₆+a₄a₆=100

知∴即①　

或　 ②　

解①得a₃=8,a₅=2∴q==,

a_n=a₃()^n－3=()^n－6

解②得:a₃=2,a₅=8　 q==2,

a_n=a₃(2)^n－3=2^n－2

4．在和n+1之间插入n个正数，使这n+2个数依次成等比数列，求所插入的n个数之积.　

[解] 设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₁=,a_n+2=n+1,∴ =n+1,qⁿ⁺¹=n(n+1),

∵a₂·a₃·…·a_n+1＝a₁ⁿq^1+2+3+…+n＝a₁ⁿ=( =，即插入的n个数之积为.

3．在等比数列{a_n}中各项都是正数，a₆a₁₀+a₃a₅=41，a₄a₈=4,则a₄+a₈=__7____.

2．将20，50，100这三个数加上相同的常数，使它们成为等比数列，则其公比是